Regimes da Força de Arraste: Fluxo Turbulento e Fluxo Viscoso.
Teoria
E aí, beleza?
Hoje a gente vai bater um papo sobre as formas os quais a força de arraste pode aparecer pra gente. Todo mundo aí já lavou alguma coisa né? E as vezes só jogando água já resolve bastante coisa, graças a força de arraste.
Pra entender melhor isso a gente precisa saber o que são fluxo turbulento e fluxo viscoso pois a forma de calcular a força de arraste DEPENDE DO TIPO DE FLUXO!
Fluxo
Fluxo é a quantidade de alguma coisa que passa por uma determinada área, num determinado instante.
Por exemplo:
Água passando por um duto:
São exemplos de fluxo:
O fluxo da corrente elétrica num fio, o fluxo de um gás num outro duto ou até mesmo o fluxo de pessoas passando na porta do metrô.
Se tratando de um fluído, a gente pode definir o fluxo volumétrico como vazão.
A vazão é a taxa de material transportado por unidade de tempo numa determinada área, e é calculada pela seguinte expressão.
O fluxo não é igual a taxa, pois depende de uma superfície já a taxa não.
Onde é a velocidade do fluído.
é a área da seção transversal do duto.
As unidades comuns da vazão , são ou .
Dependendo do comportamento da velocidade do escoamento, a gente pode classificar o nosso fluxo de duas formas: turbulento ou viscoso. A classificação depende do coeficiente adimensional conhecido como número de Reynolds:
Onde:
é a dimensão característica
é a velocidade de escoamento
é a viscosidade absoluta.
Cada fluído tem um limite pra esse número, se esse número for menor que o limite o fluxo é viscoso, se for maior, o fluxo é turbulento. A gente não vai se prender muito nessa definição pois geralmente nos tipos de problemas que aparecem pra força de arraste o tipo de escoamento já é falado, mas se pintar alguma pegadinha a gente já tá ligado!
Fluxo Turbulento
No regime turbulento, o fluxo ou escoamento é bastante desordenado. As partículas do fluído se movem de forma bem aleatória como se a gente soltasse uma pena na frente da turbina de um avião. Podems relacionar esse tipo de fluxo as altas velocidades.
Como o fluxo de um rio com queda d’água por exemplo:
Nesse tipo de fluxo a gente calcula a força de arraste da seguinte forma:
Onde:
é a densidade do meio,nesse caso a água.
é a área da seção transversal onde o meio passa, no caso acima a área da seção transversal do rio.
é o coeficiente de arraste e é adimensional.
é a velocidade do meio.
A velocidade terminal para esse tipo de fluxo, é dada por:
Pra entender isso vamos fazer esse exemplo:Um ciclista atravessa uma ventania e tem área de , a massa específica do ar é e a velocidade dos ventos é , e o coeficiente de arraste do ciclista é 0.7.Calcule a força de arraste.
Fluxo Viscoso ou Laminar
Esse tipo de fluxo é bem ordenado, as partículas do fluído andam paralelas umas ás outras bem tranquilonas. Pra simplificar a parada, a gente pode relacionar esse tipo de fluxo a baixas velocidades.
Tipo esse filete de água que sai da mangueira abaixo:
A força de arraste nesse caso aqui é calculada de forma diferente, se liga:
ATENÇÃO AQUI, DIFERENTE DO FLUXO TURBULENTO NÃO É !
Onde:
é o raio do objeto, nesse caso o raio da seção transversal do tubo.
é a viscosidade do meio, que no caso é a água, na unidade . ( E aqui a gente entende o nome fluxo viscoso, haha!).
é a velocidade do meio.
A gente já viu que o fluxo turbulento possui a velocidade terminal, mas e no fluxo viscoso como que a velocidade se comporta?
Variação da velocidade no fluxo viscoso
Vamos chamar toda aquela galera que multiplica a velocidade na força de arraste de b, assim:
Legal, agora vamos usar a lei de Newton e relacionar as forças agindo no meio.
Onde
Como temos:
Dividindo tudo por , a gente tem:
E assim:
Dois pontos são interessantes nessa equação, quando , e quando . Nesses pontos a gente consegue observar como a velocidade se comporta quando o corpo parte do repouso, e também a velocidade terminal para esse tipo de regime.
Quando , a equação assume essa solução:
Como o desenvolvimento da solução não é tão simples a gente vai focar nossa energia em entender e memorizar as fórmulas, ok?
E quando , a gente tem a equação assumindo essa cara:
E essa é a velocidade terminal, para o fluxo viscoso.
Aproximação da força de arraste
Podemos dizer que a força de arraste então, pode ser aproximada pela seguinte equação:
Onde o termo é o termo do fluxo viscoso para baixas velocidades e é a componente do fluxo turbulento, para altas velocidades.
Onde:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria.
Observe o duto abaixo que transporta óleo de oliva que possui viscosidade de .
Calcule a força de arraste nos dois trechos sabendo que no primeiro trecho a velocidade do fluído é de 1m/s, e o regime para todos os trechos é laminar.
Dados: Duto cilíndrico, .
Passo 1
Já temos o raio do primeiro trecho do duto e a velocidade, então vamos começar calculando aa vazão nesse trecho.
A área da seção transversal é circular então:
E vem:
Agora, preste bastante atenção. A gente não tem a velocidade do segundo trecho, mas podemos encontrá-la, pois a vazão nesse tipo de tubo é a mesma para todos os trechos.
Assim:
Calculando :
E:
E olha só que legal, a área diminuiu e a velocidade aumentou. A gente vê bastante isso na prática quando tampa parcialmente a torneira com o dedo e a água vem com mais velocidade.
Passo 2
Agora que já temos as duas velocidades, podemos enfim calcular a força de arraste. Como o regime é laminar ou viscoso usaremos a seguinte equação:
Substituindo os valores para o primeiro trecho:
E para o segundo trecho:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria.
- Mostre que as velocidades terminais são diferentes para os regimes da força de arraste.
- Compare as velocidades e mostre que a força de arraste pode ser aproximada pela equação
Passo 1
a ) Vamos começar calculando para o fluxo turbulento, para isso basta a gente usar a segunda lei de Newton e encontrar a relação das forças:
A força de arraste para fluxo turbulento é dada pela expressão:
Assim:
Rearrumando:
Passo 2
Para o fluxo laminar a parada é um pouco diferente, a gente precisa pegar aquela equação geral e partir dela:
Pra velocidade terminal, a gente precisa do ponto em que .Se liga nessa ideia, se o tempo tende ao infinito o termo , tende a zero. Com isso a equação fica:
Aqui a gente mostra que as velocidades são diferentes dependendo do regime, pois dependem de fatores diferentes.
Passo 3
b) Vamos agora comparar as velocidades e fazer a análise. Para o fluxo turbulento encontramos:
Rearrumando :
Para simplificar faremos:
Para o fluxo laminar nós temos:
Olhando assim elas ficam bem parecidas, a diferença é o expoente e a constante que multiplica cada uma. Podemos dizer que :
A gente não pode simplesmente somar as duas forças de arraste, a aproximação da mesma é dada por uma função definida por partes. A gente vai juntar as duas partes que encontramos e assim:
Se o fluxo é laminar:
Se o fluxo é turbulento:
Quando as velocidades são baixas a função é linear, quando a velocidade aumenta, o efeito da turbulência faz aparecer o termo ao quadrado.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria.
Mostre que a equação:
É satisfeita para os pontos e .
Passo 1
Primeiro vamos escolher um dos pontos, vamos começar pelo ponto .
Nesse ponto, a solução tem essa cara aqui:
Po, se a gente já tem a solução é só jogar lá e tá tudo beleza né? Não, muita calma nessa hora.
Nós já conhecemos quase todos os termos, o problema é o . Não sabemos quem esse termo é, por isso precisamos derivar a velocidade para o tempo, ok?
Derivando os dois lados em função do tempo, temos:
Pra facilitar a nossa vida, podemos colocar o que é constante para fora.
Derivando, a gente tem que a derivada da constante é 0, e sobra.
Substituindo:
Passo 2
Beleza, agora que a gente já tem todos os termos vamos substituir na equação e ver no que dá.
A equação é:
Substituindo , temos:
Simplificando:
Agora substituindo o
Assim:
E:
Provamos então que no ponto , a equação é satisfeita.
Passo 3
Vamos avaliar agora o outro ponto, . Nesse caso, a equação tem a solução característica:
A ideia é a mesma que usamos no primeiro caso, vamos encontrar o termo
Nesse caso, e é constante, então a derivada é 0.
Vamos então pegar a equação e substituir.
Como , temos:
E aí:
Como chegamos na solução, a gente provou que a equação é satisfeita.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)