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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 44.1 - Ex. 10

10. Um píon neutro tem uma energia de repouso de 135 M e V e uma vida média de 8,3 ⋅ 10 - 17   s . Se o píon é produzido com uma energia cinética inicial de 80   M e V   e decai após um intervalo de tempo igual à vida média, qual é o comprimento do maior rastro que pode deixar em uma câmara de bolhas? Não se esqueça de levar em conta a dilatação relativística dos tempos.

Passo 1

Bom! A primeira coisa é saber que o fator de Lorentz é dado pela seguinte equação:

γ = E m c 2 = K + m c 2 m c 2 = 1 + K m c 2

γ = 1 + K m c 2 = 1 + 80   M e V 135   M e V

γ = 1,59

Só que esse mesmo fator de Lorentz também pode ser escrito em função da velocidade da partícula v , como:

γ = 1 1 - v c 2

γ 2 = 1 1 - v c 2

γ 2 - v 2 c 2 γ 2 = 1

v 2 γ 2 c 2 = γ 2 - 1

v 2 γ 2 = c 2 γ 2 - c 2

v 2 = c 2 - c 2 γ 2

v = c 1 - 1 γ 2

Onde γ = 1,59 :

v = c 1 - 1 1,59 2

v = 0,77746 c ≅ 0,778 c

Passo 2

E agora, vamos calcular o tempo de vida t do píon no referencial do laboratório, que vai ser dado pelo produto da vida média pelo fator de Lorentz:

t = τ γ

t = ( 1,59 ) ( 8,3 ⋅ 10 - 17   s )

t = 1,31 ⋅ 10 - 16   s

Passo 3

Finalmente, para achar o valor da distância x percorrida pelo píon no laboratório; basta fazer a multiplicação da velocidade que encontramos no P a s s o   1 pelo tempo de vida do píon no referencial do laboratório:

x = v t

x = ( 0,78 c ) ( 1,3 ⋅ 10 - 16   s )

x = ( 0,778 ) ( 2,998 ⋅ 10 8   m / s ) ( 1,31 ⋅ 10 - 16   s )

x ≅ 3,1 ⋅ 10 - 8   m

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Resposta

x ≅ 3,1 ⋅ 10 - 8   m

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