Enunciado

31 – 32 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.34. Na Fig. 43-10, a equação de n(K), a concentração de prótons por unidade de energia. é

em que n é a concentração total de prótons, (número de prótons por unidade de volume). No centro do Sol, a temperatura é 1,50x10^7 K e a energia média dos prótons , Kmed, é 1,94keV. Calcule a razão entre a concentração de prótons com 5,00 keV e a concentração de prótons com uma energia igual à energia média.

Passo 1

Vamos montar a equação n K para as duas situações:

n 5,00   k e V = 1,13 n ⋅ 5,00   k e V 1 / 2 k T 3 / 2 ⋅ e - 5,00 k e V / k T

E

n 1 , 94   k e V = 1,13 n ⋅ 1 , 94   k e V 1 / 2 k T 3 / 2 ⋅ e - 1 , 94 k e V / k T

Sabemos que a temperatura é de 1,50 ⋅ 10 7 K

E que a constante de Boltzmann vale k = 8,62 ⋅ 10 - 5   e V = 8,62 ⋅ 10 - 8   k e V

Passo 2

Agora vamos dividir as equações para encontrarmos a razão:

n 5,00   k e V n 1,94   k e V = 1,13 n ⋅ 5,00   k e V 1 / 2 k T 3 / 2 ⋅ e - 5,00 k e V / k T 1,13 n ⋅ 1,94   k e V 1 / 2 k T 3 / 2 ⋅ e - 1,94 k e V / k T  

O valor de n e o valor de k T é o mesmo, então podemos simplificar a equação dessa forma:

n 5,00   k e V n 1,94   k e V = 5,00   k e V 1,94   k e V 1 / 2 ⋅ exp ⁡ - 5,00 k e V + 1,94   k e V k T

Substituindo k e T :

n 5,00   k e V n 1,94   k e V = 5,00   k e V 1,94   k e V 1 / 2 ⋅ exp ⁡ - 5,00 k e V + 1,94   k e V 8,62 ⋅ 10 - 8   k e V ⋅ 1,50 ⋅ 10 7 K

Fazendo essas contas descobrimos que

n 5,00   k e V n 1,94   k e V = 0,151

Resposta

n 5,00   k e V n 1,94   k e V = 0,151

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