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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 41.1 - Ex. 21

A 1000   K , a fração de elétrons de condução em um metal com energia maior que a energia de Fermi é igual à área sob a parte da curva Fig. 41-8 b acima de E F dividida pela área sob a curva inteira. É difícil calcular essas áreas por integração direta. Entretanto, uma aproximação dessa fração, válida para qualquer temperatura T , é a seguinte:

f r a c = 3 ⋅ k ⋅ T 2 ⋅ E F

Observe que f r a c = 0 para T = 0   K , como seria de se esperar. Qual é a fração para o cobre (a) a 300   K e (b) a 1000   K ? Para o cobre, E F = 7,0   e V . (e) Confirme as respostas por integração numérica usando a Eq. 41-7.

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos utilizar basicamente a relação dada no enunciado para os primeiros itens e após isso, usar um software para calcular os resultados numéricos dada pela integração

f r a c = ∫ E F ∞ E / e E - E F k ⋅ T + 1 ⋅ d E ∫ 0 ∞ E / e E - E F k ⋅ T + 1 ⋅ d E

Passo 2

  1. Para T = 300   K , temos que a equação fica

    2. f r a c = 3 ⋅ k ⋅ T 2 ⋅ E F = 3 ⋅ 8,62 × 10 - 5   e V / K ⋅ 300   K 2 ⋅ 7,0   e V = 0,0055

    Passo 3

  2. Para T = 1000   K , temos que

    3. f r a c = 3 ⋅ 8,62 × 10 - 5   e V / K ⋅ 10 00   K 2 ⋅ 7,0   e V = 0,018

    Passo 4

  3. Utilizando a relação colocada no passo 1 para as integrais e um programa de cálculo numérico, chegamos que para T = 300   K , f r a c = 0,00385 e para T = 1000   K , f r a c = 0,0129 . Os resultados diferem em um valor razoavelmente grande, porém nota-se que para T cada vez maior, menor se torna esse erro.

Resposta

  1. f r a c = 0,0055
  2. f r a c = 0,018
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