Em (1-4), que relaciona a radiância espectral com a densidade de energia, que dimensões deveria ter a constante de proporcionalidade?

Passo 1

A equação (1-4) do livro estabelece que a radiância espectral R T ν deve ser proporcional a densidade de energia espectral ρ T ν :

ρ T ν ∝ R T ν

Podemos escrever essa relação com um sinal de igualdade. Para isso, basta adicionar uma constante k de proporcionalidade:

ρ T ν = k   R T ν

Queremos saber quais as dimensões da constante k .

Passo 2

Sabemos que ρ T ν   Δ ν representa energia por unidade de volume, de modo que

ρ T ν Δ ν = e n e r g i a [ v o l u m e ]

Vamos adotar a notação usual de análise dimensional: L para comprimento, T para tempo e M para massa. Assim, v o l u m e = L 3 , de modo que

ρ T ν Δ ν = e n e r g i a L 3

Como frequência ( ν ) é o inverso do período, sua dimensão é o inverso do tempo:

Δ ν = 1 T

Assim,

ρ T ν = T   e n e r g i a L 3

Agora vamos olhar para a radiância espectral: sabemos que R T ν   Δ ν tem dimensão de potência por área:

R T ν   Δ ν = p o t e n c i a a r e a = p o t e n c i a L 2

Portanto,

R T ν ⋅ 1 T = p o t e n c i a L 2

Além disso, como a potência é energia por tempo, segue que

R T ν ⋅ 1 T = e n e r g i a T   L 2 → R T ν = e n e r g i a L 2

Passo 3

Voltando para a equação do passo 1:

ρ T ν = k   R T ν

Substituindo as relações que encontramos no passo 2:

T   e n e r g i a L 3 = k ⋅ e n e r g i a L 2

Simplificando os termos de energia e de L , encontramos

k = T L = L T - 1 = v e l o c i d a d e - 1

A constante de proporcionalidade tem dimensão de inverso de velocidade!

PS: no problema 2 você vai mostrar que essa constante vale 4 / c , onde c é a velocidade da luz no vácuo!

Resposta

Dimensão de inverso de velocidade.

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