5.9. Uma partícula de 2,0 kg se move ao longo de um eixo x sob a ação de uma força variável. A posição da partícula é dada por x = 3,0 m + 4,0 m s t + c t 2 - 2,0 m s 3 t 3 , com x em metros e t em segundos. O fator c é uma constante. No instante t=3,0 s a força que age sobre a partícula tem um módulo de 36 N e aponta no sentido negativo do eixo x. Qual é o valor de c?

Enunciado

Então a gente tem uma partícula se movendo em uma única direção respeitando a equação

E a gente sabe qual é o valor da força em . Nesse instante a força é , já que aponta no sentido negativo de .

Bom, com essas informações a gente tem que descobrir o valor da constante .

A gente pode usar a segunda lei de Newton:

Vamos usar o instante , então a gente sabe a massa e a força.

Agora a gente sabe a aceleração

O valor da aceleração vai ajudar muito a gente, porque a segunda derivada da posição em relação ao tempo é a aceleração. Matematicamente temos

Então vamos fazer essa derivada

Aqui a gente pode usar a regra da potência para derivar

Agora vamos fazer isso de novo

Bom, agora a gente tem a equação para aceleração

Mas a gente sabe o valor da aceleração no tempo . Então a gente pode descobrir o valor da constante . Vamos isolar essa constante

Agora é só substituir os valores

Então esse é o valor da constante .