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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 17

A aceleração de um corpo com movimento retilíneo é dada por a= -Kv2 , onde K é uma constante. Sabendo-se que, quando t = O, x = x0 e v = v0 , obtenha a velocidade e o deslocamento como funções do tempo. Obtenha também v como função de x.

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos lá fazer uma questãozinha beeem tranquila!

Vem!

Letra a:

a = - k v 2 = d v d t = ∫ v - 2 d v = ∫ - k d t

v - 1 - 1 + C = - k t                         1 ;   t = 0 , Y = V 0

C = - k 0 + 1 V 0

Agora, colocando C em (1):

- 1 v + 1 v 0 = - k t ⇒ 1 v = 1 v 0 + k t

1 + k v 0 t v 0 ⇒ v = V 0 1 + k V 0 t

Passo 2

Letra b:

V = d x d t = V 0 1 + k v 0 t ⇒ d x = V 0 d t 1 + k V 0 t

∫ x 0 x   d x = 1 k ∫ 0 t   k v 0 d t 1 + k v 0 d t = 1 k ∫   d s s   ⇒ x - x 0 = 1 k l n ⁡ | s |

E substituindo de novo:

x = x 0 + 1 k + l n ⁡ | 1 + k v 0 t |

Passo 3

Letra c:

a = - k v 2 = d v d t d t d x = - k d x d t ⋅ d t d t

d v d x = - k v

∫ V 0 V   d v V = ∫ x 0 x   - k d x ⇒ ln ⁡ V x 0 x = - k x - x 0 = l n | v | - | n v 0

⇒ ln ⁡ V V 0 = - k x - x 0 ⇒ V = V 0 e - k x - x 0

Resposta

  1. v = V 0 1 + k V 0 t
  2. x = x 0 + 1 k + l n ⁡ | 1 + k v 0 t |
  3. V = V 0 e - k x - x 0
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