O acelerador de elétrons de 50   G e V da Universidade de Stanford fornece um feixe de elétrons com comprimentos de onda muito pequenos, adequados para a investigação dos detalhes da estrutura nuclear por meio de experiência de espalhamento. Qual é esse comprimento de onda e como ele se compara com o tamanho de um núcleo médio?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O enunciado forneceu para gente a energia cinética de um elétron K = 50   G e V . Para saber se devemos ou não considerar a relatividade restrita para resolver o problema, temos que comparar a energia cinética com a energia de repouso m c 2 . Para o elétron, temos que

m c 2 = 511   k e V

Note que

K m c 2 = 50 ⋅ 10 9 511 ⋅ 10 3 ≈ 10 5

Portanto, a energia cinética é cerca de cem mil vezes maior que a energia de repouso. Isso significa que estamos no regime ultrarelativístico.

No geral, a energia total é dada por

E = K + m c 2

Nesse caso, a energia cinética é tão maior que a energia de repouso ( K ≫ m c 2 ) que podemos desprezar a energia de repouso:

E ≈ K

Esse elétron deve se mover a uma velocidade muito próxima da luz.

Passo 2

Mas como relacionar isso com o momento?

Bom, na relatividade restrita temos a relação

E 2 = p c 2 + m c 2

Como estamos no regime ultrarelativístico, podemos desprezar a energia de repouso m c 2 , de modo que

E = p c → p = E c = K c

Assim, o comprimento de onda é obtido por

λ = h p = h K / c

Portanto,

λ = h c K

Lembre-se que h c = 1240   e V   n m , de modo que

λ = 1240   e V   n m 50 ⋅ 10 9   e V = 24,8 ⋅ 10 - 9   n m

Ou ainda,

λ = 2,48 ⋅ 10 - 17   m

O tamanho de um núcleo atômico é da ordem de 10 - 15   m . Repare que o comprimento de onda do elétron é até menor que o tamanho do núcleo, de modo que experimentos de espalhamento são possíveis!

Resposta

λ = 2,48 ⋅ 10 - 17   m

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