a) Mostre que o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula de carga e , massa de repouso m 0 , se movendo com velocidades relativísticas é dada como uma função do potencial acelerador V como

λ = h 2 m 0 e V 1 + e V 2 m 0 c 2 - 1 / 2

b) Mostre que essa expressão está de acordo com λ = h / p no limite não relativístico.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Sabemos que a energia total relativística é dada por

E 2 = p c 2 + m c 2 2

Com isso, podemos isolar p :

p = E 2 - m c 2 2 c

Além disso, podemos escrever E como sendo a soma da energia cinética K com a energia de repouso m c 2 :

E = K + m c 2

Assim,

E 2 = K 2 + 2 m c 2 K + m c 2 2

Logo,

E 2 - m c 2 2 = K 2 + 2 m c 2 K

Passo 2

Substituindo na relação do momento:

p = K K + 2 m c 2 c

Ou ainda,

p = K 2 c 2 + 2 m K

Podemos colocar 2 m K em evidência:

p = 2 m K 1 + K 2 m c 2

Agora recorremos a fórmula de de Broglie:

λ = h p = h 2 m K 1 + K 2 m c 2

Assim,

λ = h 2 m K 1 + K 2 m c 2 - 1 / 2

Estamos quase terminando, só falta lembrar que a energia cinética é a carga vezes o potencial acelerador K = e V :

λ = h 2 m e V 1 + e V 2 m c 2 - 1 / 2

Passo 3

No regime não relativístico, temos que m c 2 ≫ e V , isto é, a energia de repouso é muito maior que a energia cinética. Com isso, temos

1 + e V 2 m c 2 → 1

Portanto,

λ = h 2 m e V = h 2 m K

Além disso, no regime não relativístico, vale

K = p 2 2 m → p = 2 m K

Com isso, podemos escrever

λ = h p

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro