Na experiência de Davisson e Germer, (a) mostre que os feixes difratados de terceira e segunda ordens, correspondentes ao primeiro máximo forte da figura 3-2, não podem ocorrer e (b) ache o ângulo no qual o feixe difratado de primeira ordem ocorreria se o potencial acelerador fosse mudado de para . (c) Qual é o potencial acelerador necessário para que seja produzido um feixe difratado de segunda ordem em ?
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
Para resolver esse problema vamos ter que lembrar um pouquinho da lei de Bragg:
Na situação descrita na figura 3-2, a energia do elétron era e com isso seu comprimento de onda calculado foi
O espaçamento entre as camadas da rede cristalina é . Assim, chegamos na relação
Para , temos
Como obtemos um resultado menor que para o seno, o valor é consistente e corresponde a um máximo de interferência.
Outros máximos poderiam ocorrer para Todavia, para esses valores de obteríamos , o que não é possível. Sendo assim, feixes difratados de segunda e terceira ordem não são possíveis! Isso prova o item (a)!
Passo 2
Vamos para o item (b)!
Agora a energia aumentou para . Isso vai alterar o comprimento de onda. Para isso, lembramos que
Mas o momento se relaciona com a energia cinética por
Assim,
Sabemos que e para o elétron, de modo que
Repare que esse comprimento de onda é um pouquinho menor que o comprimento de onda anterior (quando a energia era ). Isso porque é inversamente proporcional a raiz da energia .
Agora podemos aplicar a lei de Bragg:
Para o primeiro máximo (), temos
Para achar o ângulo , basta lembrar que
Assim, temos
Passo 3
Finalmente vamos para o item (c)!
Voltamos a situação da figura 3-2 em que a energia do elétron é e seu comprimento de onda é . Vimos que nessa situação, não apareciam máximos de segunda ordem (ver item a). Nosso objetivo agora é calcular a energia cinética do elétron para que esse máximo ocorra!
Para isso, olhamos para a lei de Bragg e isolamos :
Para que o máximo de n-ésima ordem ocorra, devemos ter
Em particular, no caso , temos
Mas vimos que
Portanto, a condição fica
Ou ainda,
Agora substituímos , e :
Portanto,
Isso significa que potencial acelerador deve ser maior que !