Na experiência de Davisson e Germer, (a) mostre que os feixes difratados de terceira e segunda ordens, correspondentes ao primeiro máximo forte da figura 3-2, não podem ocorrer e (b) ache o ângulo no qual o feixe difratado de primeira ordem ocorreria se o potencial acelerador fosse mudado de 54   e V para 60   e V . (c) Qual é o potencial acelerador necessário para que seja produzido um feixe difratado de segunda ordem em 50 ° ?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema vamos ter que lembrar um pouquinho da lei de Bragg:

n λ = 2 d   s e n   φ

Na situação descrita na figura 3-2, a energia do elétron era 54   e V e com isso seu comprimento de onda calculado foi

λ = 1,65 ⋅ 10 - 10   m

O espaçamento entre as camadas da rede cristalina é d = 0,91 ⋅ 10 - 10   m . Assim, chegamos na relação

n = 2 ⋅ 0,91 ⋅ 10 - 10 1,65 ⋅ 10 - 10   s e n   φ = 1,103   s e n   φ

Para n = 1 , temos

s e n   φ = 1 1,103 < 1

Como obtemos um resultado menor que 1 para o seno, o valor n = 1 é consistente e corresponde a um máximo de interferência.

Outros máximos poderiam ocorrer para n = 2 ,   3 ,   4 … Todavia, para esses valores de n obteríamos s e n   φ > 1 , o que não é possível. Sendo assim, feixes difratados de segunda e terceira ordem não são possíveis! Isso prova o item (a)!

Passo 2

Vamos para o item (b)!

Agora a energia aumentou para K = 60   e V . Isso vai alterar o comprimento de onda. Para isso, lembramos que

λ = h p

Mas o momento se relaciona com a energia cinética por

K = p 2 2 m → p = 2 m K

Assim,

λ = h 2 m K = h c 2 m c 2 K

Sabemos que h c = 1240   e V   n m e m c 2 = 511   k e V para o elétron, de modo que

λ = 1240   e V   n m 2 ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V ⋅ 60   e V = 0,158   n m = 1,58 ⋅ 10 - 10   m

Repare que esse comprimento de onda é um pouquinho menor que o comprimento de onda anterior (quando a energia era 54   e V ). Isso porque λ é inversamente proporcional a raiz da energia K .

Agora podemos aplicar a lei de Bragg:

n = 2 ⋅ 0,91 ⋅ 10 - 10 1 , 58 ⋅ 10 - 10   s e n   φ = 1,1 52   s e n   φ

Para o primeiro máximo ( n = 1 ), temos

s e n   φ = 1 1,152 → φ ≈ 60 °

Para achar o ângulo θ , basta lembrar que

2 φ + θ = 180 °

Assim, temos

120 ° + θ = 180 ° → θ = 60 °

Passo 3

Finalmente vamos para o item (c)!

Voltamos a situação da figura 3-2 em que a energia do elétron é K = 54   e V e seu comprimento de onda é λ = 1,65 ⋅ 10 - 10   m . Vimos que nessa situação, não apareciam máximos de segunda ordem (ver item a). Nosso objetivo agora é calcular a energia cinética K do elétron para que esse máximo ocorra!

Para isso, olhamos para a lei de Bragg e isolamos s e n   φ :

s e n   φ = n λ 2 d

Para que o máximo de n-ésima ordem ocorra, devemos ter

s e n   φ < 1 → n λ 2 d < 1

Em particular, no caso n = 2 , temos

λ d < 1 → λ < d

Mas vimos que

λ = h c 2 m c 2 K

Portanto, a condição fica

h c 2 m c 2 K < d → h c 2 2 m c 2 K < d 2

Ou ainda,

K > h c d 2 ⋅ 1 2 m c 2

Agora substituímos h c = 1240   e V   n m , d = 0,091   n m e m c 2 = 511   k e V :

K > 1240   e V   n m 0,091   n m 2 ⋅ 1 511 ⋅ 10 3   e V

Portanto,

K > 181,7   e V

Isso significa que potencial acelerador deve ser maior que 181,7   V !

Resposta

θ = 60 °

K > 181,7   e V

Ver Outros Exercícios desse livro