Enunciado
Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Oscilações, Ondas e Termodinâmica- Ed: 5º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 37
De acordo com a Figura P14.37, água é bombeada em um cilindro alto, vertical, a uma taxa de fluxo de volume R = 1,00 L/min. O raio do cilindro é r = 5,00 cm e, no topo aberto do cilindro, um diapasão vibra com frequência f = 512 Hz. Conforme a água sobe, que intervalo de tempo decorre entre ressonâncias sucessivas?
Passo 1
Da expressão para o volume de um cilindro, podemos determinar a relação entre o fluxo de água e a taxa de variação da altura do cilindro, compreendido entre a superfície da água e a parte superior onde se encontra o diapasão. Esta altura é, na verdade, o comprimento do tubo em que a onda emitida pelo diapasão será refletida na superfície da água e entrará em ressonância .
Passo 2
Sabendo que 1 litro de água corresponde a e que o volume do cilindro correspondido entre a superfície da água e a parte superior do cilindro é dado pelo produto entre a área de sua base (circunferência ) e a sua altura (que é o comprimento do tubo em que as onda sonoras sofrerão ressonância ), temos;
Passo 3
Note que a parte entre parênteses na expressão anterior é invariável, enquanto o cilindro pe cheio: a variação do volume ocasiona uma variação apenas no valor de , que diminui, pois a água sobe. Assim podemos dizer que:
Passo 4
Agora, vamos pensar no tubo fechado, com comprimento que diminui em 0,127 metros a cada minuto. As frequências de ressonância para este tubo são dadas pela expressão:
Nessa situação, pode assumir apenas valores impares, resumindo
Passo 5
Observe que, na expressão para o harmônico fundamental, a variação da frequência de ressonância ocorrerá por causa da variação no comprimento do tubo, pois permanece constante. Dessa maneira, podemos aplicar a derivada em função do tempo em ambos os lados da equação e relacionar a taxa de variação da frequência com a taxa de variação do comprimento do tubo em função do tempo:
Passo 6
Os valores constantes podem sair do operador derivada, ficando apenas o termo que contém a variável
Passo 7
A derivada do lado direito da igualdade pode ser determinada pela regra da derivação para potências, dada por :
Passo 8
Para a frequência de 512 Hz, podemos determinar o comprimento L para o primeiro harmônico, partindo da expressão a seguir, considerando a velocidade do som no interior do tubo igual a 340 m/s.
Para o próximo harmônico
Passo 9
Como podemos notar, os valores de L crescem uniformemente, o que significa que as ressonâncias ocorrerão, em variações uniformes de comprimento do tubo. Conhecendo a taxa de variação do tubo, podemos determinar o intervalo de tempo entre variações sucessivas:
Passo 10
Partindo da parte superior, ou variação de comprimento, é , a taxa de variação do comprimento é , com isso, podemos determinar a variação do tempo:
Resposta
Portanto, o intervalo de tempo decorre entre ressonâncias sucessivas é de 2,6 min.