Enunciado

De acordo com a Figura P14.37, água é bombeada em um cilindro alto, vertical, a uma taxa de fluxo de volume R = 1,00 L/min. O raio do cilindro é r = 5,00 cm e, no topo aberto do cilindro, um diapasão vibra com frequência f = 512 Hz. Conforme a água sobe, que intervalo de tempo decorre entre ressonâncias sucessivas?

Passo 1

Da expressão para o volume de um cilindro, podemos determinar a relação entre o fluxo de água e a taxa de variação da altura do cilindro, compreendido entre a superfície da água e a parte superior onde se encontra o diapasão. Esta altura é, na verdade, o comprimento do tubo em que a onda emitida pelo diapasão será refletida na superfície da água e entrará em ressonância .

Passo 2

Sabendo que 1 litro de água corresponde a 0,001   m 3 e que o volume do cilindro correspondido entre a superfície da água e a parte superior do cilindro é dado pelo produto entre a área de sua base (circunferência ) e a sua altura (que é o comprimento do tubo em que as onda sonoras sofrerão ressonância ), temos;

V = A b × h = π r 2 × h

Passo 3

Note que a parte entre parênteses na expressão anterior é invariável, enquanto o cilindro pe cheio: a variação do volume ocasiona uma variação apenas no valor de h , que diminui, pois a água sobe. Assim podemos dizer que:

∆ V = π r 2 × ∆ h

∆ h = ∆ V π r 2 = - 0,001 3,14 × 0,05 2 = - 0,127   m / m i n

Passo 4

Agora, vamos pensar no tubo fechado, com comprimento que diminui em 0,127 metros a cada minuto. As frequências de ressonância para este tubo são dadas pela expressão:

f = v 4 L

f 2 n - 1 = 2 n - 1 ⋅ f 1

Nessa situação, n pode assumir apenas valores impares, resumindo n = 1 ,   3 ,   5 ,   7 ,   … . .

Passo 5

Observe que, na expressão para o harmônico fundamental, a variação da frequência de ressonância ocorrerá por causa da variação no comprimento do tubo, pois v permanece constante. Dessa maneira, podemos aplicar a derivada em função do tempo em ambos os lados da equação e relacionar a taxa de variação da frequência com a taxa de variação do comprimento do tubo em função do tempo:

d f 1 d t = d d t v 4 L

Passo 6

Os valores constantes podem sair do operador derivada, ficando apenas o termo que contém a variável L

d f 1 d t = v 4 × d d t 1 L

Passo 7

A derivada do lado direito da igualdade pode ser determinada pela regra da derivação para potências, dada por :

d d t x n = n × x d d t   x  

d d t 1 L = d d t L - 1 = - L - 2 = - 1 d L 2 d t

d f 1 d t = - v 4 l 2 × d d t L

Passo 8

Para a frequência de 512 Hz, podemos determinar o comprimento L para o primeiro harmônico, partindo da expressão a seguir, considerando a velocidade do som no interior do tubo igual a 340 m/s.

f 1 = v 4 L 1

L 1 = v 4 f 1 = 340 4 ⋅ 512 = 0,166   m

Para o próximo harmônico

f 1 = 3 v 4 L 3

L 3 = 3 v 4 f 1 = 3 ⋅ 340 4 ⋅ 512 = 0,498   m

f 1 = 5 v 4 L 5

L 5 = 5 v 4 f 1 = 5 ⋅ 355 4 ⋅ 512 = 0 , 8 6   m

Passo 9

Como podemos notar, os valores de L crescem uniformemente, o que significa que as ressonâncias ocorrerão, em variações uniformes de comprimento do tubo. Conhecendo a taxa de variação do tubo, podemos determinar o intervalo de tempo entre variações sucessivas:

∆ t = ∆ L t a x a = L n - L n - 1 t a x a

Passo 10

Partindo da parte superior, ou variação de comprimento, é ∆ L = - 0,322 m , a taxa de variação do comprimento é - 0,127 m / m i n , com isso, podemos determinar a variação do tempo:

∆ t = ∆ L t a x a = - 0,332 - 0,127 = 2,6   m i n

Resposta

Portanto, o intervalo de tempo decorre entre ressonâncias sucessivas é de 2,6 min.

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