Enunciado

Água é bombeada para cima do Rio Colorado para abastecer a aldeia de Grand Canyon Village, situada na borda do cânion. O rio está a uma elevação de 564 m, e a vila a 2096 m. Imagine que a água é bombeada por um cano longo com 15,0 cm de diâmetro, por uma única bomba na extremidade de baixo. (a) Qual é a pressão mínima com a qual a água deve ser bombeada se deve chegar até a aldeia? (b) Se 4500 m3 de água são bombeados por dia, qual é a velocidade da água no cano? Observação: Suponha que a aceleração da gravidade e a densidade do ar sejam constantes nesta variação de elevações. As pressões calculadas são muito altas para um cano comum. Na realidade, a água é levantada em fases por várias bombas, através de canos mais curtos.

Passo 1

Fala ai galera, bora resolver o nosso exercício? Se liga só.

Vamos começar pegando as informações que foram dadas no enunciado:

H 1 = 564   m

H 2 = 2096   m

d = 15 , 0   c m → r = 7,50   c m

Show, vamos começar usando a fórmula:

P = ρ á g u a × g × ∆ H

Uma informação importante é ter a densidade da água, que é ρ á g u a =   10 3 k g / m ³

P = 10 3 k g m 3 × 9,8 m s 2 × 1532   m

P = 15,01   M P a

Passo 2

Beleza, agora vamos encontrar a velocidade. Para isso, vamos usar a fórmula:

Q v = S × V m

Show, vamos começar calculando a área da seção do cano. No caso, vamos ter que calcular a área de um círculo:

A =   π r ²

A = 7,50 × 10 - 2 2 π = 56,25 × 10 - 4 π   m ²

Agora, vamos calcular a vazão de água, para isso a gente vai usar:

Q v =   V T

No enunciado ele diz que o volume de 4500   m ³ é bombeado em um dia, então:

1   d i a = 24   h o r a s = 1440   m i n u t o s = 86400   s e g u n d o s

Q v =   4500   m ³ 86400   s

Jogando tudo na nossa fórmula, vamos ter:

4500   m ³ 86400   s = 56,25 × 10 - 4 π   m ² × V m

V m =   4500   m ³ 86400   s × 56,25 × 10 - 4 π   m ²  

V m = 2,95   m / s

Resposta

P = 15,01   M P a

V m = 2,95   m / s

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