Prove que

a^1 * a^2 xx a^3 = (1)/(a_1 * a_2 xx a_3)

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos partir da definição do vetor recíproco para provar a relação. Assim, vem:

vec a^2 = (vec a_3 xx vec a_1)/(vec a_2 * vec a_3 xx vec a_1) ; vec a^3 = (vec a_1 xx vec a_2)/(vec a_3 * vec a_1 xx vec a_2)

Assim, temos:

vec a^2 xx vec a^3 = ((vec a_3 xx vec a_1) xx (vec a_1 xx vec a_2))/([vec a_2 * vec a_3 xx vec a_1] [vec a_3 * vec a_1 xx vec a_2])

Tratando o vetor vec a_3 xx vec a_1 como um vetor vec V , podemos utilizar a regra do produto triplo demonstrada em um exercício anterior:

(vec a_3 xx vec a_1) xx (vec a_1 xx vec a_2) = [(vec a_3 xx vec a_1) * vec a_2] vec a_1 - [(vec a_3 xx vec a_1) * vec a_1] vec a_2

Note então que o primeiro termo é nulo. Assim:

(vec a_3 xx vec a_1) xx (vec a_1 xx vec a_2) = [(vec a_3 xx vec a_1) * vec a_2] vec a_1

Portanto:

vec a^2 xx vec a^3 = ([(vec a_3 xx vec a_1) * vec a_2] vec a_1)/([vec a_2 * vec a_3 xx vec a_1] [vec a_3 * vec a_1 xx vec a_2])

Ou seja:

vec a^2 xx vec a^3 = (vec a_1)/(vec a_3 * vec a_1 xx vec a_2)

Passo 2

Tomando o produto escalar com o vetor vec a^1 , temos:

vec a^1 * vec a^2 xx vec a^3 = ((vec a_2 xx vec a_3))/(vec a_1 * vec a_2 xx vec a_3) * (vec a_1)/(vec a_3 * vec a_1 xx vec a_2) = (vec a_1 * (vec a_2 xx vec a_3))/([vec a_1 * vec a_2 xx vec a_3] [vec a_3 * vec a_1 xx vec a_2])

Logo:

vec a^1 * vec a^2 xx vec a^3 = (1)/(vec a_3 * vec a_1 xx vec a_2) = (1)/(vec a_1 * (vec a_2 xx vec a_3))

Como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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