Prove que, se a soma de V 1 , V 2   e V 3 é zero, então V 1 × V 3 = V 3 × V 2 = V 2 × V 1 . Destas relações, conclua que V 1 / s e n ( ∠ V 2 V 3 ) = V 2 / s e n ( ∠ V 1 V 3 ) = V 3 / s e n ( ∠ V 1 V 2 ) , onde ∠ V i V j representa o ângulo entre os vetores V i e V j .

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos partir do pressuposto do enunciado e chegar no que se pede. Inicialmente, temos:

V 1 → + V 2 → + V 3 → = 0 ∴ V 1 → + V 2 → = - V 3 →

Dessa forma, tomando o produto vetorial com V 1 → de ambos os lados, temos:

V 1 → + V 2 → × V 1 → = - V 3 → × V 1 →

V 1 → × V 1 → + V 2 → × V 1 → = - V 3 → × V 1 →

Como o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é nulo e a → × b → = - b → × a → , temos:

V 2 → × V 1 → = V 1 → × V 3 →

De maneira análoga, se tomarmos o produto vetorial por V 2 → em vez do V 1 → , chegamos em:

V 1 → × V 2 → = - V 3 → × V 2 → ∴ V 2 → × V 1 → = V 3 → × V 2 →  

Portanto:

V 1 → × V 3 → = V 3 → × V 2 → = V 2 → × V 1 →

Como queríamos demonstrar!

Passo 2

Utilizando a relação anterior, chegamos em:

V 1 V 3 s e n ∠ V 1 V 3 = V 3 V 2 s e n ∠ V 2 V 3 = V 2 V 1 s e n ( ∠ V 1 V 2 )  

Dividindo todos os membros por V 1 V 2 V 3 , vem:

s e n ( ∠ V 1 V 3 ) V 2 = s e n ( ∠ V 2 V 3 ) V 1 = s e n ( ∠ V 1 V 2 ) V 3

Invertendo, temos:

V 1 s e n ∠ V 2 V 3 = V 2 s e n ∠ V 1 V 3 = V 3 s e n ∠ V 1 V 2

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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