Prove que qualquer vetor V pode ser escrito em qualquer uma das formas alternativas seguintes

V = V ∙ a 1 a 1 + V ∙ a 2 a 2 + V ∙ a 3 a 3 = ∑ i V ∙ a i a i

Ou

V = V ∙ a 1 a 1 + V ∙ a 2 a 2 + V ∙ a 3 a 3 = ∑ i V ∙ a i a i

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos decompor o vetor V → em termos dos vetores a 1 → , a 2 → e a 3 →

V → = V 1 a 1 → + V 2 a 2 →   + V 3 a 3 →

Assim, para determinar a componente na direção de um desses vetores, podemos multiplicar escalarmente pelo vetor recíproco, pois assim garantimos que as outras componentes se anularão! Ou seja:

V → ∙ a 1 → = V 1 a 1 → ∙ a 1 → = V 1

Analogamente, temos:

V 2 = V → ∙ a 2 →

V 3 = V → ∙ a 3 →

Portanto:

V → = ∑ i V → ∙ a i → a i →

Passo 2

Analogamente, vamos decompor o vetor V → em termos dos vetores a 1 → , a 2 → e a 3 →

V → = V 1 a 1 → + V 2 a 2 →   + V 3 a 3 →

Assim, para determinar a componente na direção de um desses vetores, podemos multiplicar escalarmente pelo vetor recíproco, pois assim garantimos que as outras componentes se anularão! Ou seja:

V → ∙ a 1 → = V 1 a 1 → ∙ a 1 → = V 1

Analogamente, temos:

V 2 = V → ∙ a 2 →

V 3 = V → ∙ a 3 →

Portanto:

V → = ∑ i V → ∙ a i → a i →

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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