Enunciado

Uma amostra de gás se expande de uma pressão inicial de 10   P a e um volume inicial de 1,0   m 3 para um volume final de 2,0   m 3 . Durante a expansão, a pressão e o volume estão relacionados pela equação p = a V 2 , onde a = 10   N / m 8 . Determine o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.

Passo 1

Lembra da definição do trabalho realizado por um gás? É essa integral aqui:

W = ∫ V i V f p   d V

Dessa vez o enunciado até já deu a relação da pressão em função do volume:

p = a V 2 = 10 V 2

Vamos substituir isso na integral!

W = ∫ V i V f 10 V 2   d V

E os limites da integração (volume inicial e final) também já foram dados!

W = ∫ 1,0 2,0 10 V 2   d V

Agora é só resolver!

Passo 2

Primeiro, vamos tirar a constante:

W = 10 ∫ 1,0 2,0 V 2   d V

Agora ficamos com uma integral bem comum, vamos usar essa propriedade aqui:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Então:

W = 10 ( 2,0 ) 3 3 - ( 1 , 0 ) 3 3

W = 10 8,0 3 - 1,0 3

W = 10 7 3 = 70 3

E então:

W ≅ 23   J

Resolvido!

Resposta

O trabalho realizado pelo gás foi W = 23   J .

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