Enunciado

Uma amostra de um gás ideal monoatômico está contida em um cilindro com um pistão. Seu estado é representado pelo ponto preto no diagrama PV mostrado na Figura PO18.9. Setas de A a E representam processos isobáricos, isotérmicos, adiabáticos e isovolumétricos pelos quais a amostra pode passar. Em cada processo, exceto D, o volume muda por um fator de 2. Todos os cinco processos são reversíveis. Classifique-os de acordo com a variação da entropia do gás do maior valor positivo para o maior valor negativo em módulo. Em sua classificação, mostre quaisquer casos de igualdade.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, para começarmos, vamos trazer aqui o diagrama do exercício:

Como aqui temos uma amostra de gás ideal, a gente vai usar a equação:

P V = n R T

Além disso, vamos usar a equação:

d S = d Q T

Show, agora vamos calcular para cada etapa do nosso diagrama, beleza? Então vamos começar.

Passo 2

Vamos começar pelo processo A. Como aqui nós temos um processo isobárico, vamos usar:

d Q = n c p ( ∆ T )

Jogando na nossa fórmula da variação da entropia:

d S = d Q T

d S p = n c p ( ∆ T ) T

Show, agora que temos a nossa equação, nós vamos precisar integrar ela dos dois lados:

∫ s 1 s 2 d S p = ∫ T 1 T 2 n c p ( ∆ T ) T

∆ S = - n c p ln ⁡ T 1 T 2

Beleza, como aqui a pressão é constante, o volume e a temperatura vão variar linearmente, mas inversamente proporcional. Como o enunciado nos diz que o volume muda por um fator de 2, podemos dizer que se o volume é dividido por 2, a temperatura é dobrada.

Vamos então dizer:

∆ S = - n 5 2 ln ⁡ T 0,5 T

∆ S = - 2,5 n ln ⁡ 2

Passo 3

Agora vamos para o processo B. Como aqui nós temos um processo isotérmico, vamos usar:

d Q = P d V

d Q = ( n R T V ) d V

Jogando na fórmula da variação da entropia vamos ter:

d S = d Q T

d S = ( n R T V ) d V T

d S = n R ( d V V )

Beleza, agora vamos integrar de cada lado:

∫ s 1 s 2 d S = ∫ V 1 V 2 n R ( d V V )

∆ S = - n R ln ⁡ V 1 V 2

Assim como no Passo 1, faremos para o volume a mesma ideia da temperatura:

∆ S = - n R ln ⁡ V 0,5 V

∆ S = - n R ln ⁡ 2

Passo 4

Agora vamos para o processo C. Como aqui nós temos um processo adiabático, vamos dizer que:

d Q = 0

Jogando na fórmula da variação da entropia vamos ter:

d S = d Q T

d S = 0 T = 0

Passo 5

Agora vamos para o processo D. Como aqui nós temos um processo isovolumétrico, vamos dizer que:

d Q = n c V ( d T )

Jogando na fórmula da variação da entropia vamos ter:

d S = d Q T

d S = n c V ( d T ) T

Beleza, agora vamos integrar de cada lado:

∫ s 1 s 2 d S = ∫ T 1 T 2 n c V ( d T ) T

∆ S = n c V ln ⁡ V 2 V 1

Como temos aqui um volume constante, a pressão e a temperatura são diretamente proporcionais, então como a Pressão dobra pelo gráfico, podemos dizer que o volume também vai dobrar, logo:

∆ S = n 3 2 ln ⁡ 2 V V

∆ S = 1,5 n ln ⁡ 2

Passo 6

Agora vamos para o processo E. Como aqui nós temos um processo com pressão constante e o volume dobra, vamos dizer que:

∆ S = n c p ln ⁡ V 2 V 1

∆ S = n 5 2 R ln ⁡ 2 V V

∆ S = 2,5 n R ln ⁡ 2

Com isso podemos concluir que a variação da entropia se comporta:

E > D > C > B > A

Resposta

E > D > C > B > A

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