Enunciado
Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 26.1 - Ex. 78
Um anel circular de fio com massa e corrente constante está em uma região com um campo magnético uniforme. Ele está inicialmente em equilíbrio e seu momento magnético está alinhado com o campo magnético. O anel sofre um pequeno deslocamento angular em torno do eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao campo magnético, e é, então, liberado. Qual é o período do movimento subsequente? (Considere que o único torque exercido no anel é o devido ao campo magnético e que não há outras forças exercidas sobre ele.)
Passo 1
Fala bonit@s, como vocês estão? Espero que estejam bem.
Se liguem só estamos sendo solicitados a mostrar que, para pequenos deslocamentos do equilíbrio, o loop circular executa um movimento harmônico simples. Para mostrar que seu movimento é MHS, devemos mostrar que a malha experimenta um torque de restauração linear quando deslocada do equilíbrio. Podemos conseguir isso aplicando a segunda lei de Newton na forma rotacional e usando uma aproximação de pequeno ângulo para obter a equação diferencial para movimento harmônico simples. Uma vez que temos a equação diferencial, podemos identificar ω e expressar o período do movimento. Dessa forma, aplicando a segunda lei de Newton temos
onde o sinal menos indica que o torque atua de forma a alinhar o ímã com o campo magnético e é o momento de inércia do loop.
Passo 2
Pois bem, devemos nos lembrar que para ângulos pequenos podemos fazer a seguinte aproximação
Sendo assim, nossa equação diferencial anterior passa a ser
Assim, para pequenos deslocamentos do equilíbrio, vemos que a equação diferencial que descreve o movimento do loop é a equação diferencial do movimento harmônico simples. Essa equação resolvida para obtemos:
Onde
Como temos que
Como queríamos mostrar.