A Fig. 28-45 mostra um cilindro de madeira de massa m = 0,250 k g e comprimento L = 0,100 m , com N = 10,0 espiras de fio enroladas longitudinalmente para formar uma bobina; o plano da bobina passa pelo eixo do cilindro. O cilindro é liberado a partir do repouso em um plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal, com o plano da bobina paralelo ao plano inclinado. Se o conjunto é submetido a um campo magnético uniforme de módulo 0,500 T , qual é a menor corrente i na bobina que impede que o cilindro entre em movimento?

Passo 1

Aqui temos um cilindro que tem 10 espiras enroladas a ele longitudinalmente, este cilindro está em um plano inclinado e é pedido qual a menor corrente que tem que ter na bobina que impede que o cilindro entre em movimento.

Passo 2

As forças que agem sobre o cilindro são a força da gravidade m g , que é vertical e passa pelo centro de massa do cilindro, a força normal do plano inclinado F N , que é perpendicular ao plano inclinado e passa pelo centro de massa do cilindro, e a força de atrito f , que é paralela ao plano inclinado e passa pela superfície do cilindro. Vamos tomar o eixo x paralelo ao plano inclinado e considerar o sentido para baixo como positivo. Nesse caso, aplicando a segunda lei de Newton às componentes das forças envolvidas em relação ao eixo x, temos:

m g s e n θ – f = m a

na qual a é a aceleração do cilindro.

Passo 3

O passo seguinte consiste em calcular o torque em relação ao eixo do cilindro. De acordo com a Eq. 28-37, o campo magnético produz um torque de módulo μ B s e n θ , na qual μ é o momento dipolar do cilindro, e a força de atrito produz um torque de módulo f r , na qual r é o raio do cilindro. De acordo com a segunda lei de Newton para rotações, temos:

f r - μ B s e n θ = I α ,

na qual I é o momento de inércia do cilindro e a é a aceleração angular do cilindro.

Passo 4

Como estamos interessados em calcular a menor corrente para a qual o cilindro não entra em movimento, fazemos a = 0 na primeira equação e α = 0 na segunda, o que nos dá m g r = μ B . Como a bobina é retangular, com dois lados de comprimento L e dois lados de comprimento 2 r , na qual r é o raio do cilindro, a área da bobina é A = 2 r L e o momento dipolar é μ = N i A = N i 2 r L . Assim, m g r = 2 N i r L B e

i = m g 2 N L B

com os valores da questão

m = 0,25 k g

g = 9,8 m / s 2

N = 10

L = 0,1 m

B = 0,5 T

i = 0,25 k g × 9,8 m / s 2 2 10 × 0,1 T × 0,5 T = 4,90 2 A = 2,45 A

Resposta

i = 2,45 A

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