Aplicando a técnica de separação de variáveis, desdobre a equação de Schroedinger do rotor rígido do problema 17 e obtenha: (a) a equação de Schroedinger independente do tempo

- h 2 2 I d 2 Φ φ d φ 2 = E Φ φ

E (b) a equação para a dependência temporal da função de onda

d T t d t = - i E h T ( t )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Bem, a equação de Schroedinger pode ser escrita de várias formas, nesse caso, nós vamos usar a técnica de separação de variáveis, que em resumo, é trocar a resolução de uma EDP (Equação diferencial parcial) para resolver EDO’s (Equação diferencial ordinária), então vamos denotar o Φ φ por ψ ( φ ,   t ) . Com isso a equação de Schroedinger fica da seguinte forma:

- h 2 2 I ∂ 2 ψ φ ,   t ∂ φ 2 = i h ∂ ψ ( φ ,   t ) ∂ t

Assumindo que a solução é separável, nós temos:

ψ φ ,   t = Φ φ T t

Portanto, nós temos:

- h 2 2 I ∂ 2 Φ φ T t ∂ φ 2 = i h ∂ Φ φ T t ∂ t

Mudando essa derivada parcial para uma derivada ordinária, nós temos:

- h 2 2 I d 2 Φ φ T t d φ 2 = i h Φ φ d T t d t

Manipulando um pouco mais equação, nós temos:

- h 2 2 I d 2 Φ φ d φ 2 Φ φ = i h d T t d t T t

Que os matemáticos me perdoem por isso, rsrs!

Nós vamos agora, denotar uma constante E para as derivadas segundas, o motivo disso é para facilitar os cálculos e deixar tudo um pouco mais simples! Com isso, nós vamos ter

- h 2 2 I d 2 Φ φ d φ 2 Φ φ = E →   - h 2 2 I d 2 Φ φ d φ 2 = E Φ φ

Logo, essa é a equação independente do tempo de Schroedinger!

Passo 2

Para a letra b, vamos voltar para a equação da letra a, vamos lá:

- h 2 2 I d 2 Φ φ d φ 2 Φ φ = i h d T t d t

O lado esquerdo nós vamos substituir por E (por isso que a substituição foi feita antes), com isso nós temos:

E = i h d T t d t

Isolando a derivada, nós vamos ter de resultado:

d T t d t =   - i E h T t

O que é exatamente o que o enunciado pede na questão. 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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