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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 23

Aplique a condição de normalização para mostrar que o valor da constante multiplicativa para a autofunção com n = 3 do poço de potencial quadrado infinito, (6-79), é B 3 = 2 / a .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A autofunção correspondente a n = 3 é dada por

ψ x = B cos ⁡ 3 π x a

Para que ela seja normalizada, devemos ter

∫ - a / 2 a / 2 ψ 2   d x = 1

Assim,

B 2 ∫ - a / 2 a / 2 cos 2 ⁡ 3 π x a   d x = 1

Como a função do integrando é par, podemos escrever

2 B 2   ∫ 0 a / 2 cos 2 ⁡ 3 π x a   d x = 1

Passo 2

Vamos fazer uma mudança de variável:

y = 3 π x a → d x = a 3 π d y

Logo,

2 B 2 ⋅ a 3 π ∫ 0 3 π / 2 cos 2 ⁡ y   d y

Para resolver a integral, lembramos que

cos 2 ⁡ y = 1 + cos ⁡ 2 y 2

Portanto,

2 B 2 a 3 π ∫ 0 3 π / 2 1 + cos ⁡ 2 y 2   d y = 1

Logo,

2 B 2 a 3 π ⋅ 1 2 ⋅ 3 π 2 = 1 → B 2 = 2 a

Assim,

B = 2 a

Resposta

Demonstração.

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