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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 5

Considere uma partícula penetrando em uma barreira de potencial retangular. Escreva as soluções gerais apresentadas na seção 6-5, que dão a forma de ψ nas diferentes regiões do potencial. (a) Encontre então as quatro relações entre as cinco constantes arbitrárias ajustando ψ e d ψ / d x nos limites entre essas regiões. (b) Use estas relações para calcular o coeficiente de transmissão T , verificando assim (6-49).

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Na seção 6-5 do livro foram encontradas as expressões para a função da onda ψ em cada região:

ψ x = A e i k 1 x + B e - i k 1 x ,                   x < 0 F e - k 2 x + G e k 2 x ,               0 < x < a C e i k 1 x ,                             x > a

As constantes k 1 e k 2 são dadas por

k 1 = 2 m E ℏ               e             k 2 = 2 m V 0 - E ℏ

Vale destacar que estamos discutindo a situação de uma partícula penetrando (e não passando pela barreira), de modo que E < V 0 .

Como vamos precisar da derivada de ψ , escrevemos

d ψ d x = i k 1 A e i k 1 x - i k 1 B e - i k 1 x ,                   x < 0 - k 2 F e - k 2 x + k 2 G e k 2 x ,               0 < x < a i k 1 C e i k 1 x ,                             x > a

Passo 2

Analisando a continuidade de ψ e d ψ / d x em x = 0 , obtemos

A + B = F + G                   e                 i k 1 A - i k 1 B = - k 2 F + k 2 G

Da mesma forma, em x = a :

F e - k 2 a + G e k 2 a = C e i k 1 a             e           - k 2 F e - k 2 a + k 2 G e k 2 a = i k 1 C e i k 1 a

Vamos eliminar primeiro F e G . Da primeira equação:

F = A + B - G

Substituímos na segunda:

i k 1 A - B = - k 2 A + B - G + k 2 G → G = k 2 + i k 1 A + k 2 - i k 1 B 2 k 2

Assim,

F = A + B - k 2 + i k 1 A + k 2 - i k 1 B 2 k 2 = k 2 - i k 1 A + k 2 + i k 1 B 2 k 2

Vamos definir um parâmetro q = k 2 + i k 1 , de modo que q * = k 2 - i k 1 . Assim,

F = q * A + q B 2 k 2           e             G = q A + q * B 2 k 2

Agora temos que substituir essas relações nas duas outras equações. Olhando para F e - k 2 a + G e k 2 a = C e i k 1 a , achamos:

q * A + q B 2 k 2 e - k 2 a + q A + q * B 2 k 2 e k 2 a = C e i k 1 a

Simplificando as coisas, encontramos:

q * e - k 2 a + q e k 2 a A + q e - k 2 a + q * e k 2 a B = 2 k 2 C e i k 1 a

Olhando para a outra equação - k 2 F e - k 2 a + k 2 G e k 2 a = i k 1 C e i k 1 a , temos

- q * A + q B e - k 2 a + q A + q * B e k 2 a = 2 i k 1 C e i k 1 a

Ou ainda,

q e k 2 a - q * e - k 2 a A + q * e k 2 a - q e - k 2 a B = 2 i k 1 C e i k 1 a

Passo 3

No passo anterior, encontramos as equações:

q * e - k 2 a + q e k 2 a A + q e - k 2 a + q * e k 2 a B = 2 k 2 C e i k 1 a

q e k 2 a - q * e - k 2 a A + q * e k 2 a - q e - k 2 a B = 2 i k 1 C e i k 1 a

Agora precisamos eliminar B . Multiplique a primeira equação por q * e k 2 a - q e - k 2 a e a segunda por q e - k 2 a + q * e k 2 a e subtrai uma pela outra. Os termos com B vão se cancelar e vamos encontrar:

q * e k 2 a - q e - k 2 a q * e - k 2 a + q e k 2 a A - q e - k 2 a + q * e k 2 a q e k 2 a - q * e - k 2 a A = q * e k 2 a - q e - k 2 a ⋅ 2 k 2 C e i k 1 a - q e - k 2 a + q * e k 2 a ⋅ 2 i k 1 C e i k 1 a

Ou ainda,

q * e k 2 a - q e - k 2 a q * e - k 2 a + q e k 2 a - q e - k 2 a + q * e k 2 a q e k 2 a - q * e - k 2 a A = 2 C e i k 1 a k 2 q * e k 2 a - q e - k 2 a - i k 1 q e - k 2 a + q * e k 2 a

Fazendo as distributivas e simplificando o que for possível, obtemos

q * 2 - q 2 A = C e i k 1 a q * 2 e k 2 a - q 2 e k 2 a

Com isso,

C A = q * 2 - q 2 e i k 1 a q * 2 e k 2 a - q 2 e k 2 a

O coeficiente de transmissão será o módulo quadrado dessa relação:

T = C A 2 = C A ⋅ C A *

Antes de fazer essa conta, vamos destacar que podemos substituir as expressões de q e q * :

q * 2 - q 2 = - 4 i k 1 k 2

q * 2 e k 2 a - q 2 e k 2 a = k 2 2 - k 1 2 e k 2 a - e - k 2 a - 2 i k 1 k 2 e k 2 a + e - k 2 a

Com isso,

C A = - i 4 k 1 k 2 e i k 1 a k 2 2 - k 1 2 e k 2 a - e - k 2 a - 2 i k 1 k 2 e k 2 a + e - k 2 a

Quando tomamos o módulo quadrado, achamos

T = 4 k 1 k 2 k 2 2 - k 1 2 e k 2 a - e - k 2 a - 2 i k 1 k 2 e k 2 a + e - k 2 a ⋅ 4 k 1 k 2 k 2 2 - k 1 2 e k 2 a - e - k 2 a + 2 i k 1 k 2 e k 2 a + e - k 2 a

Assim,

T = 4 k 1 k 2 2 k 2 2 - k 1 2 e k 2 a - e - k 2 a 2 + 2 k 1 k 2 e k 2 a + e - k 2 a 2

Lembre-se também que e k 2 a - e - k 2 a = 2 sinh ⁡ k 2 a e e k 2 a + e - k 2 a = 2 cosh ⁡ k 2 a :

T = 4 k 1 k 2 2 k 2 2 - k 1 2 ⋅ 2 sinh ⁡ k 2 a 2 + 2 k 1 k 2 ⋅ 2 cosh ⁡ k 2 a 2

Portanto,

T = 16 k 1 k 2 2 4 sinh 2 ⁡ k 2 a   k 2 2 - k 1 2 2 + 16 cosh 2 ⁡ k 2 a   k 1 k 2 2

Dividimos tanto o numerador como o denominador por 16 k 1 k 2 2 :

T = 1 cosh 2 ⁡ k 2 a + k 2 2 - k 1 2 2 4 k 1 k 2 2 sinh 2 ⁡ k 2 a

Lembre-se também que cosh 2 ⁡ k 2 a = 1 + sinh 2 ⁡ k 2 a :

T = 1 1 + sinh 2 ⁡ k 2 a + k 2 2 - k 1 2 2 4 k 1 k 2 2 sinh 2 ⁡ k 2 a

Ou ainda,

T = 1 1 + 1 + k 2 2 - k 1 2 2 4 k 1 k 2 2 sinh 2 ⁡ k 2 a = 1 1 + t sinh 2 ⁡ k 2 a

Vamos focar no termo entre parênteses do denominador:

t = 1 + k 2 2 - k 1 2 2 4 k 1 k 2 2 = k 2 2 + k 1 2 2 4 k 1 k 2 2

Agora vamos lembrar quem são k 1 e k 2 :

k 1 = 2 m E ℏ               e             k 2 = 2 m V 0 - E ℏ

Ou ainda,

k 1 2 = 2 m E ℏ 2             e           k 2 2 = 2 m V 0 - E ℏ 2

Portanto,

k 1 2 + k 2 2 = 2 m V 0 ℏ 2

Logo,

t = 2 m V 0 ℏ 2 2 4 2 m E ℏ 2 2 m V 0 - E ℏ 2 = 1 4 ⋅ V 0 2 E V 0 - E = 1 4 ⋅ 1 E V 0 1 - E V 0

Portanto,

T = 1 1 + 1 4 ⋅ 1 E V 0 1 - E V 0 sinh 2 ⁡ k 2 a = 1 + 1 4 ⋅ 1 E V 0 1 - E V 0 sinh 2 ⁡ k 2 a - 1

Essa é exatamente a equação (6-49) do livro!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro