Aplique os resultados do problema 20 do Capítulo 5 ao caso de uma partícula em uma caixa tridimensional. Isto é, resolva a equação de Schroedinger para uma partícula se movendo em um potencial tridimensional que é zero dentro de uma região cúbica de aresta a e que se torna infinitamente grande fora desta região. Determine os autovalores e autofunções para o sistema.

Para achar as autofunções e autovalores para uma partícula em uma caixa cúbica de uma borda de comprimento , com potencial zero dentro, e um potencial infinito de fora, a equação de tempo independente de Schrodinger vai ser necessária para essas três coordenadas:

Onde , e são as componentes individuais da função de onda

Onde , e são as componentes individuais do potencial de soma para o potencial total

Onde , e são as energias individuais que somam a energia total

Já que o potencial dentro da caixa é zero, a para cada coordenada da equação de Schrondiger vai ser zero. Para simplificar, fazemos só pra coordenada ; as outras vai ser exatamente a mesmas. Então fazemos :

Rearranjando para a segunda derivada e agrupando

Já que a segunda derivada de é diretamente proporcional a , isso significa que vai seguir o comportamento exponencial e sinusoidal. A função sinusoidal é escolhida porque a função precisa ir para zero em um intervalo finito (nas paredes do recipiente, que são do potencial infinito)

Então a solução geral achada para vai ser a soma de termos de seno e cosseno

Com e sendo constantes e igual a:

Esse valor de vem de tratar o

Como

Estendendo, temos e

Com e sendo

As equações de , e precisam ir para zero na origem. Já que o cosseno é diferente de zero na origem, não deve ter termos de cosseno nas funções. Então, os coeficientes , e todos precisam ser zero

As três funções também precisam ser iguais a zero no ponto oposto, quando a coordenada é igual a:

O único lugar que o seno é igual a zero é em valores integrais. Então cada um dos argumentos igual a para a coordenada

Fazendo cada uma das coordenadas igual a , já que nessa condição está no outro final do cubo

Rearranjando para achar os ’s

Usando isso e substituindo em , e

Então as autofunções para o sistema são

Para achar os autovalores do sistema, temos

Então, precisamos de diferentes expressões para energias. Então começamos a achar o

Mas como já remos uma expressão para . Substituímos para obter as energias em termos de

Por extensão, para e

Então temos que