Quando uma solução analítica, como é feito no Apêndice G, para o primeiro autovalor do potencial onde. Compare com a integração numérica do problema 31 do Capítulo 5. (Sugestão: (i) Devido à simetria de , a primeira autofunção deve ter paridade positiva. Isto significa que não pode haver nenhum termo em seno em na região em torno de . (ii) Devido a essa simetria, é necessário apenas ajustar e em , e fazer em .)

A condição para a energia, que permite o que é necessário:

Aqui, é algum integrador, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é largura da parede.

O que vai ajudar a gente é converter o para o SI

A energia total é igual à soma de energia cinética e a energia potencial é

Já que o problema pediu para acharmos o potencial, rearranjamos para achar o

Substituindo na equação obtida no primeiro passo para a energia

Substituindo os valores obtidos, temos que

A gente não sabe o valor de , mas temos restrições nisso: a profundidade do potencial deve ter um valor diferente de zero. Em outras palavras, a expressão para deve ser maior que zero.

Então escrevemos isso

Rearranjando para resolver para

Substituindo valores, temos

Já que deve ser um integrador, isso significa que o menor pode ser . Agora, que sabemos o que é , substituímos na equação obtida no passo 4

Convertendo de volta para

Se somente metade de um comprimento de onda de Broglie encaixa dentro da parede, então isso significa que o comprimento de onda vai ser maior, então a partícula vai ter energia menor.

Mas o eléctron tem muita energia para o estado. Se fosse metade do comprimento de onda, o eléctron teria energia menor que o potencial, e se torna um estado vinculado.