Forme o produto da autofunção para 0 estado n = 1 de um poço de potencial quadrado

infinito pela autofunção para o estado n = 3 deste potencial. Então integre-o sobre todos

os x, e mostre que o resultado é igual a zero. Em outras palavras, mostre que

(Sugestão: Use a relação: cos u cos u = [cos (u 4 y) 4 cos (u - u)]/2.) Os estudantes que

resolveram o problema 33 do Capítulo 5 já demonstraram que a integral sobre todos os x

da autofunção com n = 1 vezes a autofunção com n = 2 é também igual a zero. Pode ser

demonstrada que a integral sobre todos os x de quaisquer duas autofunções diferentes é

igual a zero. Além disso, isto é verdadeiro para quaisquer duas autofunções diferentes de

qualquer outro potencial. (Se as autofunções forem complexas, o complexo conjugado

de uma é tomado no integrando.) Esta propriedade é chamada de ortogonalidade.

Para provar a integral do produto das autofunções ímpares para uma partícula presa em um quadrado de poço infinito é igual a zero, as funções de onda serão necessárias, assim como um jeito mais matemático de expressar o resultado pedido

Precisamos provar que

As autofunções para uma partícula presa em um poço de quadrado infinito de largura é

A identidade trigonométrica é

Para provar que a integral do produto das autofunções é igual a zero, precisamos usar as relações que citamos nos passos anteriores, tendo limites de integração como e (já que marca a ponta do poço potencial)

Simplificando as constantes de fatoração

Usando que cosseno é uma função par

Simplificando um pouco mais usando que a integral de uma função par centrada na origem é igual a duas vezes a integral da origem ao ponto final

Então, integrando

Aplicando os limites de integração

Que reduz à