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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 25.Problemas Adicionais - Ex. 57

Um átomo de hidrogénio pode ser considerado possuidor de um próton central de carga (puntiforme) positiva e e um elétron de carga negativa - e , distribuída ao redor do próton de acordo com a densidade volumétrica de carga ρ = A   e x p ( - 2 r / a 0 )   . Nesta expressão, A é uma constante, a 0 = 0,53 × 10 - 10   m é o raio de Bohr e r é a distância ao centro do átomo. (a) Usando o fato de que o hidrogénio é eletricamente neutro, determine A . (b) A seguir, determine o campo elétrico produzido pelo átomo a uma distância igual ao raio de Bohr.

Passo 1

Fala galera, bora lá! De acordo com esta lei de Gauss, a carga encerrada dividida pela permissividade determina o fluxo elétrico total para fora de uma superfície fechada. É definido por,

∮ E   d A = Q ϵ 0                                                                                                                                       ( 1 )

Onde, Q é carga fechada e ϵ 0 é permissividade. Aqui temos, densidade de carga de volume ρ = A   e x p ( - 2 r / a 0 ) , o valor de a 0 = 0,53 × 10 - 10   m e a distância do centro do átomo é r .

Suponha que o hidrogênio seja eletricamente neutro, então, a integral do volume sobre a densidade de carga dá a carga total (digamos - e 0 ), obtemos

∫ ρ   d V = - e 0

Sabemos que

V = 4 π r 3

d V = 4 π r 2 d r

Agora, substitua todos os valores numéricos na equação (1) obtemos,

4 π A ∫ r 2 e - 2 r a 0   d r = - e 0

Resolvendo a integral, então, nós conseguimos

A = - e 0 π a 0 3

Passo 2

Nesta etapa iremos encontrar a magnitude do campo elétrico. Aqui temos carga fechada por uma esfera gaussiana de raio, r = a 0 incluindo a carga do próton no centro é dada por,

q = 4 π e 0 A ∫ 0 a 0 r 2 e - 2 r a 0   d r

Substituindo os valores na equação acima, obtemos,

q = e 0 + A π a 0 3 2 1 - 5 e 2

q = 5 e 0 e 2

Da equação (1) temos,

4 π a 0 2 E = 5 e 0 ϵ 0 e 2

Portanto, a magnitude do campo elétrico é

E = 5 e 0 e - 2 4 π a 0 2 ϵ 0

Resposta

  1. A = - e 0 π a 0 3
  2. E = 5 e 0 e - 2 4 π a 0 2 ϵ 0

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