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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 25.Problemas Adicionais - Ex. 59

Quando uma esfera metálica, eletricamente neutra, de raio a , está imersa num campo elétrico uniforme de módulo E , encontra-se que a densidade superficial de carga induzida sobre a esfera é σ = 3 ϵ 0 E cos ⁡ θ , onde θ é o ângulo entre a direção de E e o raio até P (Fig. 25-43). Mostre, integrando σ na superfície da esfera, que o fluxo elétrico total originando e terminando sobre a esfera é nulo.

Passo 1

Fala galera, bora lá! Seguindo as informações do enunciado temos que a densidade superficial de carga é

σ = 3 ϵ 0 E cos ⁡ θ

O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana é definido por

Φ = ∫ E   d A

Para mostrarmos que o fluxo é nulo precisamos integrar E   na superfície, assim iremos isolar E na primeira equação.

E = σ 3 ϵ 0 cos ⁡ θ

Sabendo que o raio da esfera é a , logo

Φ = ∫ 0 a σ 3 ϵ 0 cos ⁡ θ   d A

Passo 2

O próximo passo é integrar o fluxo elétrico, temos o seguinte resultado:

Φ = 4 π a 2 σ 3 ϵ 0 cos ⁡ θ

sendo θ = 90 ° para todos os pontos sobre a superfície esférica. Substituindo-se este valor na equação, obtemos

Φ = 0

Segundo a Lei de Gauss, o fluxo total através da superfície fechada é zero. Pois as linhas do campo que representam o campo elétrico passam através da superfície gaussiana, entrando pela base esquerda e saindo pela base direita.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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