Enunciado

Avalie as seguintes integrais:

  1. ∫ - 3 1 x 3 - 3 x 2 + 2 x - 1 δ ( x + 2 ) d x

b) ∫ 0 ∞ cos ⁡ 3 x + 2   δ x - π d x

c) ∫ - 1 + 1 e x + 3   δ ( x - 2 ) d x

Passo 1

Fala aí, tranquilo? Essa questão consiste apenas na aplicação dos teoremas envolvendo a função delta de Dirac. Então, vamos às contas:

No item a), como os limites de integração contém x = - 2 , o resultado da integral é:

∫ - 3 1 x 3 - 3 x 2 + 2 x - 1 δ ( x + 2 ) d x = - 2 3 - 3 - 3 2 + 2 - 3 - 1 = - 25

Passo 2

No item b) temos a mesma situação, já que o pico da função delta está contido nos limites de integração. Logo, a integral vale:

∫ 0 ∞ cos ⁡ 3 x + 2  δ x - π dx = cos ⁡ 3 π + 2 = 1

Passo 3

Agora temos um caso no item c) em que o pico não está contido no limite de integração. Portanto, a integral se anula!

∫ - 1 + 1 e x + 3   δ ( x - 2 ) d x = 0

Resposta

a ) - 25

b )   1

c )   0

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