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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 48

Calcule a primeira derivada e escreva a resposta em termos de uma função degrau, como na Equação 2.143. (Não se preocupe com os pontos extremos, mas somente com a região interior 0 < x < a )

Explore o resultado do Problema 2.24(b) para escrever a segunda derivada V ( x , 0 ) em termos da função delta.

Avalie a integral e verifique se você obteve a mesma resposta de antes.

Passo 1

Vamos calcular, na letra a, a primeira derivada da função de onda e a escrever em termos da função de degrau f = θ x - a 2 , a qual foi definida na equação 2.143 deste capítulo 2.

Vamos calcular a derivação de acordo com o limite de x em 0 até a/2 e de a/2 até a.

Assim, nós temos que:

d ψ d x = 2 3 a   a .   1 ,   0 < x < a 2   - 1 ,   a 2 , x < a = 2 3 a   a 1 - 2 θ x - a 2  

Passo 2

Agora, na letra b, vamos explorar o exercício 2.24b, para escrever a segunda derivada em termos da função delta. Logo, nós teremos:

d 2 ψ d x ² = 2 3 a   a - 2 δ x - a 2 = - 4 3 a   a δ x - a 2

Passo 3

Por último, na letra c, iremos realizar a integral, que será:

< H >   =   - ħ 2 2 m - 4 3 a   a ∫ ψ * δ x - a 2 d x = 2 3 ħ 2 m a   a ψ * a 2

Como sabemos que ψ * a 2 = 3 a ,   t e m o s :

< H >   =   2 3 ħ 2 m a   a * 3 a * a 2 = 2 * 3 * ħ 2 m * a * a = 6 ħ 2 m a ²

Logo, sim, obtivemos a mesma resposta de antes!!

Resposta

a) d ψ d x = 2 3 a   a .   1 ,   0 < x < a 2   - 1 ,   a 2 , x < a = 2 3 a   a 1 - 2 θ x - a 2  

b) d 2 ψ d x ² = 2 3 a   a - 2 δ x - a 2 = - 4 3 a   a δ x - a 2

c) < H >   = 6 ħ 2 m a ²

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