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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 24.9 - Ex. 33

A barra fina de plástico que aparece na Fig. abaixo tem um comprimento L = 12,0 cm e uma densidade linear de cargas não uniforme λ = c x , onde c =   28,9   p C / m 2 . Com V =   0 no infinito, determine o potencial elétrico no ponto P 1 do eixo x, a uma distância d   =   3,00   c m de uma das extremidades.

Passo 1

Shoooow de bola galerinha, animados?

Eu já estou suuper eiiin !!

Aqui a questão nos pede para determinarmos o potencial elétrico em um ponto dado, gerado por um corpo extenso e que a densidade de cargas não é linear.

Passo 2

Bom, vamos considerar aqui um segmento infinitesimal de barra d x com carga d q . Usando os nossos conhecimentos anteriores podemos concluir que:

d q d x = λ

d q = λ . d x

Substituindo λ pelo que foi dado no enunciado:

d q = c x . d x

Agora que achamos a variação da carga poderemos olhar para a variação do potencial, que é o que vai nos levar aonde queremos!!

Passo 3

d V = 1 4 π ε 0 d q r

Sabemos pelo desenho que a distância r será d + x , não podemos usar L porque estamos avaliando segmentos, certo?

d V = 1 4 π ε 0 c x . d x d + x

Passo 4

Agora ficou fácil achar o potencial, não é? Basta nós integrarmos:

∫ 0 V d V = ∫ 0 L 1 4 π ϵ 0 c x d x d + x

V = c 4 π ϵ 0   ∫ 0 L x d x d + x

V = c 4 π ϵ 0   x - d . l n x + d ​ 0 L

V = c 4 π ϵ 0 L - d . l n 1 + L d - 0 - d . l n 1 + 0 d

V = c 4 π ϵ 0 L - d . l n 1 + L d

Sabendo que:

1 4 π ϵ 0 = 8,99 ×   10 9   N . m 2 C 2

c = 28,9 × 10 - 12 C m 2

L = 0,12   m

d = 0,03   m

Então:

V = 8,99 ×   10 9   N . m 2 C 2 28,9 × 10 - 12 C m 2 0,120 m - 0,030 m ln ⁡ 1 + 0,120   m 0,030   m

V = 1,86 × 10 - 2   = 18,6   m V

De boas, não foi?

Resposta

V b a r r a = 18,6   m V

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