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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 28.Exercícios e Problemas - Ex. 59

Uma bola esférica carregada tem um raio R e uma carga total Q. A intensidade do campo elétrico no interior da bola (para r ≤ R ) é dada pela expressão E r = E m a x r 4 R 4 .

a. Qual é o E m a x em função de Q e R?

b. Obtenha uma expressão para a densidade de carga volumétrica (r) no interior da bola em função de r.

c. Verifique se sua expressão para a densidade de carga, quando integrada sobre o volume da bola, resulta na carga total Q.

Passo 1

Vamos finalizar a última questão do capítulo

Vamos substituir a equação da questão em termos de R

E R = E m a x R 4 R 4

Vamos lembrar que o campo elétrico é

E = K Q R 2

E a constante

K = 1 4 π ε 0

E m a x = 1 4 π ε 0 ⋅ Q R 2

Passo 2

Vamos partir da Lei de Gauss e isolar a carga

A E = Q i n t ε 0

Q i n t = A E ε 0

Substituindo o campo elétrico e a área

Q i n t = 4 π r 2 E m a x r 4 R 4 ε 0

Podemos inserir o E m a x que calculamos no Passo 1

Q i n t = 4 π r 2 1 4 π ε 0 ⋅ Q R 2 r 4 R 4 ε 0

Simplificando

Q i n t = Q r 6 R 6

A densidade de carga volumétrica se relaciona com uma carga infinitesimal da seguinte forma

d q = ρ d v

d q = ρ 4 π r 2 d r

Vamos integrar os dois lados

Q i n t = ∫ ρ r 4 π r 2 d r

Após substituir Q i n t , ficaremos com

Q r 6 R 6 = ∫ ρ r 4 π r 2 d r

Q 4 π r 6 R 6 = ∫ ρ r r 2 d r

Vamos derivar em relação a r

Q 4 π 6 r 5 R 6 = ρ r r 2

Falta isolar a densidade volumétrica

ρ r = 3 Q r 3 2 π R 6

Passo 3

Primeiro vamos definir d q e depois integraremos

d q = ρ r d v

Ao substituir pelo resultado item b

d q = 3 Q r 3 2 π R 6 4 π r 2 d r

d q = 6 Q r 5 R 6 d r

Agora faremos a integral

Q = ∫ 0 R 6 Q r 5 R 6 d r

Q = 6 Q R 6 ∫ 0 R r 5 d r

Q = 6 Q R 6 R 6 6

Q = Q

Resposta

a.

E m a x = 1 4 π ε 0 ⋅ Q R 2

b.

ρ r = 3 Q r 3 2 π R 6

c.

Passo 3

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