Enunciado

Calcule o coeficiente de transmissão para um elétron de energia total 2   e V incidente sobre uma barreira de potencial retangular de altura V 0 e largura 10 - 10   m , usando (6-49) e então usando (6-50). Repita o cálculo para uma barreira com largura de 10 - 9   m .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A equação (6-49) é dada por

T e x a t o = 1 1 + 1 4 ⋅ 1 E V 0 1 - E V 0 sinh 2 ⁡ k 2 a

Já a (6-50) fornece uma aproximação para k 2 a ≫ 1 :

T a p r o = 16 E V 0 1 - E V 0 e - 2 k 2 a ,             k 2 = 2 m V 0 - E ℏ

Considerando E = 2   e V e V 0 = 4   e V :

E V 0 1 - E V 0 = 2 4 1 - 2 4 = 1 4

Assim,

T e x a t o = 1 1 + sinh 2 ⁡ k 2 a             e           T a p r o = 4 e - 2 k 2 a

Agora só precisamos calcular x = k 2 a em cada caso que o problema está resolvido!

Para isso, usamos que a massa do elétron é m = 9,1 ⋅ 10 - 31   k g e V 0 - E = 2   e V = 3,8 ⋅ 10 - 19   J :

k 2 = 2 m V 0 - E ℏ = 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 - 31 ⋅ 3,8 ⋅ 10 - 19 6,626 ⋅ 10 - 34 ⋅ 2 π = 2 ⋅ 1 0 9   m - 1

Passo 2

Na primeira situação, temos a = 10 - 10   m , de modo que k 2 a = 0,125 . Assim,

T e x a t o = 1 1 + sinh 2 ⁡ 0,125 = 0,984

T a p r o = 4 e - 2 ⋅ 0,125 = 3,11

Já na situação a = 10 - 9   m , temos k 2 a = 1,25 :

T e x a t o = 1 1 + sinh 2 ⁡ 1,25 = 0,28

T a p r o = 4 e - 2 ⋅ 1,25 = 0,33

Repare que para uma espessura maior, a expressão aproximada fica bem mais próxima do valor real. Isso acontece, pois, a aproximação é válida para k 2 a grande, de modo que quanto maior fora a espessura, melhor será a aproximação.

Resposta

T e x a t o = 0,984

T a p r o = 3,11

T e x a t o = 0,28

T a p r o = 0,33

Ver Outros Exercícios desse livro