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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 11c

c) Calcule ⟨ T ⟩ (a energia cinética média) e ⟨ V ⟩ (a energia potencial média) para ambos os estados. (Nenhuma nova integração é permitida!) A soma delas é o que você esperava?

Passo 1

Os valores esperados da energia cinética e da energia potencial podem ser calculados facilmente com:

⟨ T ⟩   = 1 2 m ⟨ p 2 ⟩         ;       ⟨ V ⟩   = 1 2   m ω ⟨ x 2 ⟩

Assim, substituindo os valores obtidos no item anterior, temos como resultado:

⟨ T ⟩   = 1 2 m ⟨ p 2 ⟩   = 1 4 ℏ   ( n = 0 ) 3 4   ℏ   ( n = 1 )               ;           ⟨ V ⟩   =   1 2   m ω ⟨ x 2 ⟩   = 1 4 ℏ   ( n = 0 ) 3 4   ℏ   ( n = 1 )

Note que os valores médios da energia cinética e da energia potencial são iguais, assim como ocorre no caso clássico!

Passo 2

A soma dessas energias fornece o valor esperado do Hamiltoniano da partícula:

⟨ T ⟩ + ⟨ V ⟩   =   ⟨ H ⟩   = 1 2 ℏ   n = 0 = E 0 3 2   ℏ   n = 1 = E 1

Ou seja, a energia média relacionada a cada n corresponde ao valor da energia E n associada ao respectivo estado estacionário! Esse resultado era exatamente o que deveríamos esperar! 😊

Resposta

⟨ T ⟩   = 1 2 m ⟨ p 2 ⟩   = 1 4 ℏ   ( n = 0 ) 3 4   ℏ   ( n = 1 )               ;           ⟨ V ⟩   =   1 2   m ω ⟨ x 2 ⟩   = 1 4 ℏ   ( n = 0 ) 3 4   ℏ   ( n = 1 )

⟨ T ⟩ + ⟨ V ⟩   =   ⟨ H ⟩   = 1 2 ℏ   n = 0 = E 0 3 2   ℏ   n = 1 = E 1

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