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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 20 c

Esse problema foi projetado para guia-lo durante a ‘verificação’ do teorema de Plancherel, começando pela teoria de Fourier comum em um intervalo finito e depois permitindo que esse intervalo se expanda ao infinito.

c) Elimine n e c n em favor das novas variáveis k = n π a e F k = 2 / π   a c n . Demonstre que (a) e (b) agora se tornam

f x = 1 2 π   ∑ n = - ∞ ∞ F k e i k x Δ k     ;   F k =   1 2 π   ∫ - ∞ ∞ f k e i k x   d k  

Em que Δ k é o aumento em k de um n a outro.

Passo 1

Vamos realizar a substituição sugerida no resultado do item (a):

c n = 1 a   2 π   F ( k )

Portanto:

f k = ∑ n = - ∞ ∞ 1 a   2 π   F ( k ) e i k x    

O Δ k é definido como k n + 1 - k ( n ) , portanto:

Δ k = π a   ∴ 1 a = Δ k π

Assim:

f k = ∑ n = - ∞ ∞ Δ k π   2 π   F ( k ) e i k x

E, finalmente:

f k = 1 2 π   ∑ n = - ∞ ∞ F k   e i k x   Δ k

Passo 2

Agora, para o resultado obtido no item (b), vem:

1 a   2 π   F ( k ) = 1 2 a ∫ - ∞ ∞ f k e i k x   d k

Isolando F ( k ) , vem:

  F k =   1 2 π   ∫ - ∞ ∞ f k e i k x   d k

Como estávamos buscando!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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