Esse problema foi projetado para guia-lo durante a ‘verificação’ do teorema de Plancherel, começando pela teoria de Fourier comum em um intervalo finito e depois permitindo que esse intervalo se expanda ao infinito.d) Tome o limite a → ∞ para obter o teorema de Plancharel.Comentário: em virtude de suas origens bem diferentes, é surpreendente (e encantador) que as duas fórmulas – uma para F ( k ) em termos de f x e outra para f x em termos de F ( k ) – tenham uma estrutura tão similar no limite a → ∞ .

Enunciado

Quando , devemos notar que e que o somatório tenderá a uma integral, portanto:

Já para o caso inverso, o limite é mais simples, uma vez que, mesmo com os limites sendo e , já se trata de uma integral:

E assim, demonstramos o teorema de Plancharel! 😊

Ei, a resposta está no passo a passo :)