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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 11 a

a) Calcule ⟨ x ⟩ , ⟨ p ⟩ , ⟨ x 2 ⟩ e ⟨ p 2 ⟩ para os estados ψ 0 (Equação 2.59 ) e ψ 1 (Equação 2.62 ) por integração explícita. Comentário: Nesse e em outros problemas envolvendo o oscilador harmônico, introduzir a variável ξ = m ω ℏ x e a constante α = m ω π ℏ 1 / 4 torna as coisas mais simples.

Passo 1

Opa, tranquilo?? Vamos começar a resolver essa questão verificando que, como as funções ψ 0 e ψ 1 são, respectivamente, par e ímpar (obtivemos as expressões na questão anterior), os módulos ψ 0 2 e ψ 1 2 são funções pares! Consegue perceber o que isso implica?

Isso significa que as integrais a seguir são nulas:

∫ - ∞ + ∞ x   ψ 0 2 d x = 0

∫ - ∞ + ∞ x   ψ 1 2 d x = 0

Assim, podemos dizer que ⟨ x ⟩   = 0 para os dois primeiros estados estacionários! (na verdade, esse resultado é mais geral, é verdadeiro para qualquer estado estacionário!)

Como consequência direta, temos que o momento esperado também é nulo para esses estados estacionários:

⟨ p ⟩   = m d ⟨ x ⟩ d x = 0

Passo 2

Agora, vamos determinar ⟨ x 2 ⟩ e ⟨ p 2 ⟩ . Primeiramente, adotando a sugestão do enunciado, as funções ψ 0   e ψ 1 são:

ψ 0 = α   e - ξ 2 2 → ψ 0 2 = α 2   e - ξ 2

ψ 1 = 2   α   ξ   e - ξ 2 2 → | ψ 1 ​ 2 = 2 α 2 ξ 2 e - ξ 2

Assim, para n = 0 , temos:

⟨ x 2 ⟩   = α 2 ∫ - ∞ + ∞ x 2   e - ξ 2   d x = α 2 ℏ m ω 3 2   ∫ - ∞ + ∞ ξ 2 e - ξ 2   d ξ  

Note que foi feita a mudança na variável de integração. Essa é uma integral gaussiana, portanto, tabelada. Substituindo o valor de α , resulta em:

⟨ x 2 ⟩   = ℏ 2 m ω

Agora, para o momento:

⟨ p 2 ⟩   =   - ℏ 2 ∫ - ∞ ∞ ψ 0 d 2 ψ 0 d x 2   d x = - ℏ α 2 m ω ℏ   ∫ - ∞ ∞ e - ξ 2 2 d 2 d ξ 2 e - ξ 2 2   d ξ

Essa integral fica:

⟨ p 2 ⟩   =   - m ℏ ω π ∫ - ∞ ∞ ξ 2 - 1 e - ξ 2 2   d ξ

Assim, o valor esperado do momento quadrático é a subtração de duas integrais Gaussianas tabeladas. Desse modo, chegamos em:

⟨ p 2 ⟩   = - m ℏ ω π π 2 - π   →   ⟨ p 2 ⟩   = m ℏ ω 2  

Passo 3

Agora, para n = 1 , vem que:

⟨ x 2 ⟩   = 2 α 2 ∫ - ∞ + ∞ x 2   ξ 2   e - ξ 2   d x = 2 α 2 ℏ m ω 3 2   ∫ - ∞ + ∞ ξ 4 e - ξ 2   d ξ

Mais uma vez, esbarramos numa integral Gaussiana, tabelada. Substituindo o valor de α e resolvendo a integral, ficamos com:

⟨ x 2 ⟩   = 2 ℏ π   m ω   2 π 4 →   ⟨ x 2 ⟩   = 3 ℏ 2 m ω

Finalmente, calculemos o vale esperado do momento quadrático:

⟨ p 2 ⟩   = - ℏ 2 ∫ - ∞ ∞ ψ 1 d 2 ψ 1 d x 2   d x = - 2 ℏ 2 α 2 m ω ℏ   ∫ - ∞ ∞ ξ e - ξ 2 2 d 2 d ξ 2 ξ e - ξ 2 2   d ξ

Desenvolvendo o integrando, ficamos com:

⟨ p 2 ⟩   = - 2 m ω π ∫ - ∞ ∞ ( ξ 4 - 3 ξ 2 ) e - ξ 2   d ξ

Novamente, temos para o valor esperado do momento quadrático uma diferença de duas integrais Gaussianas. Desse modo, o resultado é dado por:

⟨ p 2 ⟩   = - 2 m ω π 3 p i 4 - 3 π 2 →   ⟨ p 2 ⟩   = 3 m ℏ ω 2

Ufa.. esse item deu trabalho! Haha vamos prosseguir agora para o próximo...

Resposta

n = 0   :

⟨ x ⟩   = 0     ;   ⟨ x 2 ⟩   = ℏ 2 m ω     ;   ⟨ p ⟩   = 0     ;   ⟨ p 2 ⟩   = m ℏ ω 2  

n = 1   :

⟨ x ⟩   = 0     ;   ⟨ x 2 ⟩   = 3 ℏ 2 m ω     ;   ⟨ p ⟩   = 0     ;   ⟨ p 2 ⟩   = 3 m ℏ ω 2  

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