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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 9

Para a função de onda no Exemplo 2.2 , calcule o valor esperado de H , no tempo t = 0 , à ‘moda antiga’:

⟨ H ⟩   = ∫ Ψ x , 0 *   H ^   Ψ x , 0 d x

Compare com o resultado obtido no Exemplo 2.3 . Observação: como ⟨ H ⟩ é independente do tempo, não há perda de generalidade no uso de t = 0 .

Passo 1

Fala aí, tranquilo?? Para essa questão, vamos simplesmente calcular o valor de ⟨ H ⟩ pela definição, usando a integral. Assim, a função de onda citada no enunciado é:

Ψ x , 0 = A x ( a - x )

Com A dado por:

A = 30 a 5

Passo 2

Dessa forma, ⟨ H ⟩ fica:

⟨ H ⟩   = ∫ 0 a Ψ * H ^ Ψ   d x

O operador hamiltoniano, ao operar na função de onda, gera:

H ^ Ψ = - ℏ 2 2 m ∂ 2 A x a - x ∂ x 2

Ou seja, desenvolvendo os cálculos:

H ^ Ψ = A ℏ 2 2 m

Assim, a integral fica:

⟨ H ⟩   = A 2 ℏ 2 2 m ∫ 0 a x ( a - x ) d x = A 2 ℏ 2 m a x 2 2 - x 3 3 0 a

Por fim, temos:

⟨ H ⟩   = 5 ℏ 2 m a 2

Perceba que é o mesmo valor obtido no Exemplo 2.3 , mas de uma maneira diferente! 😉

Resposta

H = 5 ℏ 2 m a 2

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