Prove os três teoremas a seguir:

b) A função de onda independente do tempo sempre pode ser considerada real (diferentemente de , que é necessariamente complexa). Isso não significa que toda solução para uma equação de Schrödinger independente do tempo é real, mas, sim, que se você obtém uma solução que não é real, ela pode ser sempre expressa como uma combinação linear de soluções (com a mesma energia) que o são. Assim, você pode manter as que são reais.

Dica: Se satisfaz a equação para dada , então o seu complexo conjugado também a satisfaz e, portanto, também as combinações lineares e .

Primeiramente, vamos considerar que é uma função complexa. Assim, ela pode ser escrita como:

Sendo as funções e duas funções reais. Aplicando na equação de Schrödinger independente do tempo, temos:

Assim, organizando os termos, ficamos com:

Como o que está no interior dos parênteses são funções reais, temos que essas duas expressões devem ser nulas! Assim podemos concluir que tanto quanto são soluções da equação de Schrödinger!

Podemos concluir assim que, como a parte real de é solução da equação de Schrödinger, assim como sua parte imaginária, vem que é uma solução devido ao princípio da superposição!

Para finalizar, como já vimos que e são duas funções reais que solucionam a equação de Schrödinger, então basta representa-las em função de e para concluirmos a demonstração.

Como é a parte real de , então:

E como é a parte imaginária de , então:

Assim, mostramos que a solução da equação de Schrödinger para uma dada energia pode ser considerada, sempre, como uma função real, sendo e duas dessas soluções!