Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 10
(a) Calcule o expoente adiabático para um gás diatômico a uma temperatura elevada, tal que uma fração das moléculas se encontram dissociadas em átomos. Verifique que o resultado se reduz aos casos limites esperados quanto não há dissociação ou quando ela é total. (b) Se o valor observado é , qual é a porcentagem de dissociação ?
Passo 1
Vamos começar pensando em uma estratégia para calcular esse expoente :
A gente sabe que existe uma relação entre as duas capacidades térmicas:
Então:
Beleza, então uma forma de encontrar é calculando . Mas como fazer isso a partir da fração de moléculas dissociadas?
Podemos olhar para a energia interna! A fórmula é a seguinte:
Onde é a capacidade térmica que queremos calcular.
Passo 2
Ok, mas o que a energia interna tem a ver com a fração ? Bom, quando algumas moléculas se separam, vamos ficar com um conjunto de moléculas diatômicas e um de monoatômicas.
Podemos somar as energia internas de cada um desses conjuntos pra encontrar a energia interna total:
No caso das moléculas diatômicas, a energia interna vai seguir essa fórmula aqui:
E no caso das monoatômicas:
Mas ainda falta considerar que temos quantidades diferentes de cada uma delas.
Passo 3
Vamos supor que a gente tenha um mol de moléculas diatômicas inicialmente.
Cada molécula diatômica se separa para formar duas monoatômicas. Então se uma fração desse nosso se separar, vamos ter moles de moléculas monoatômicas!
E o que sobrou de diatômicas? É simplesmente :
Beleza, agora dá pra calcular qual é a fração de moléculas diatômicas e de monoatômicas no nosso gás:
Passo 4
Agora é só considerar essas frações no nosso cálculo da energia interna:
Vamos somar essas duas frações pra simplificar um pouco:
E então, usando a fórmula que escrevemos lá em cima para a energia interna:
Podemos dividir os dois lados por :
Passo 5
E agora, finalmente, vamos usar a fórmula que escrevemos para o :
Pra evitar confusão, começamos calculando esse numerador:
Agora sim, vamos substituir na fórmula do :
Pronto!
Passo 6
Conforme o enunciado pediu, vamos testar os casos limite!
Se , então nenhum molécula se separou, e o gás é totalmente diatômico, e nesse caso o certo seria :
Ok, até aqui tudo certo. E quando , deveríamos ter um gás totalmente monoatômicao, e nesse caso o certo seria :
Também está certo!
Passo 7
(b) E por último, se o fator gama observado é , qual é o valor de ?
Então:
Isso quer dizer que aproximadamente das moléculas se separaram.
Resposta
(a) O expoente é dado por .
(b) Aproximadamente das moléculas se separaram.