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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 53

A matriz de transferência.

(a) Calcule os quatro elementos da matriz-M em termos de elementos da matriz-S e vice-versa. Expresse R, T, R¸ e T, (equações 2.176 e 2.177) em termos de elementos da matriz-M.

(b) Suponha que você tem um potencial que consiste de duas peças isoladas (Figura 2.23). Demonstre que a matriz-M para a combinação é o produto de duas matrizes-M para cada seção, separadamente.

M = M 2 M 1

(c) Construa a matriz-M para o espalhamento de um potencial função delta no ponto a:

V x = - ∝ δ ( x - a )

(d) Pelo método da parte (b), calcule a matriz-M para o espalhamento da função delta dupla

Qual é o coeficiente de transmissäo para esse potencial?

V x = - ∝ ( δ x + a + δ ( x - a ) )

Passo 1

a) Nós temos:

B   =   S 11 A   +   S 12 G   ⇒   G   = 1 S 12   B   -   S 11 A =   M 21 A   +   M 22 B  

Com isso, lembrando que

⇒ M 21   = S 11 S 12   ,   M 22 = 1 S 12

Chegamos em:

F   = S 21 A   + S 22 B   =   S 21 A   + S 22 S 12   B   - S 11 A =   - S 11 S 22 - S 12 S 21 S 12   A   + S 22 S 12   B  

F =   M 11 A   + M 12 B

Passo 2

Além disso, nós temos que

  M 11 =   - det ⁡ S S 12 ,     M 12 = S 22 S 12

M   = 1 S 12   -   d e t ( S ) S 22 - S 11 1  

G   =   M 21 A + M 22 B   ⇒   B   = 1 M 22   G - M 21 A = S 11 A + S 12 G  

⇒ S 11 = - M 21 M 22   ;   S 12 = 1 M 22   .

Logo,

F   =   M 11 A + M 12 B = M 11 A + M 12 M 22   G - M 21 A = M 11 M 22   -   M 12 M 21 M 22   A   + M 12 M 22   G   =   S 21 A   +   S 22 G .

S 21   = det ⁡ M M 22   ; S 22 = M 12 M 22  

Podemos, então, encontrar S:

S = 1 M 22 - M 21 1 det ⁡ M M 12

Assim como encontramos em 2.52, temos que

S 11 = S 22   e   S 21 = S 12

Logo,

R l = S 11 ² = M 21 M 22   ² ,   T l = S 21 2 = det ⁡ M M 22 ² ,   R t = | S 22 | 2 = M 12 M 22 2 ,   T R = | S 12 | ² = 1 M 22   2  

Passo 3

b) Temos o gráfico:

Além disso, podemos dizer que:

  F G =   M 2 C D ,   C D = M 1 A B ,   l o g o ,   F G = M 2 M 1 A B = M A B

Passo 4

c) Como sabemos, a função de onda pode ser descrita como:

ψ ( x )   = A e i k x   +   B e - i k x   ( x < a ) F e i k x   +   G e - i k x   ( x > a )

Logo, temos os limites de continuidade e descontinuidade da função de onda em função de x. Sabemos que:

C o n t i n u i d a d e   d e   ψ :   A e i k x   +   B e - i k x = F e i k x   +   G e - i k x D e s c o n t i n u i d a d e   d e   ψ :   i k   F e i k a -   G e - i k a - i k   A e i k x -   B e - i k x =   - 2 m a ħ ²   ψ a =   - 2 m a ħ 2   A e i k x   +   B e - i k x

Portanto, as duas equações que temos são:

F e 2 i k a   +   G   =   A e 2 i k a   +   B

F e 2 i k a   -   G   =   A e 2 i k a -   B + i 2 m α ħ 2 k   ( A e 2 i k a   +   B )

Somando as duas equações, temos:

2 F e 2 i k a   = 2 A e 2 i k a + i 2 m α ħ 2 k   A e 2 i k a   +   B ⇒ F = 1   +   i m α ħ 2 k A + i m α ħ 2 k   e - 2 i k a B = M 11 A +   M 12 B  

Logo, concluímos que

M 11   =   1   +   i β     e     M 12   =   i β e - 2 i k a   ,   β = m α ħ 2 k  

Agora, subtraindo a segunda equação da primeira, temos:

2 G   =   2 B   -   2 i β e   2 i k a A   -   2 i β B   ⇒   G   =   ( 1   -   i β ) B   -   i β e 2 i k a A   =   M 21 A   +   M 22 B

Logo, M 21 = - i β e   2 i k a e M 22 = 1   -   i β e, assim,

M =   1   +   i β   i β e - 2 i k a   - i β e   2 i k a   1   -   i β

Passo 5

Para encontrar o M desejado, devemos lembrar que M=M2M1. Logo,

M = 1   +   i β   i β e - 2 i k a   - i β e   2 i k a   1   -   i β 1   +   i β   i β e 2 i k a   - i β e - 2 i k a   1   -   i β

M =     [ 1   +   2 i β   +   β 2 e 4 i k a   -   1 ] 2 i β [ c o s   2 k a   +   β   s i n   2 k a ] - 2 i β [ c o s   2 k a   +   β   s i n   2 k a ]   [ 1 -   2 i β   +   β 2 e - 4 i k a   -   1 ]

Além disso, temos que:

T   =   T l   =   T r   = 1 M 22 ²    

T - 1 =   [ 1   +   2 i β   +   β 2 ( e 4 i k a   -   1 ) ] [ 1   -   2 i β   +   β 2 ( e   - 4 i k a -   1 ) ]

=   1   -   2 i β   +   β ² e - 4 i k a     -   β ² +   2 i β   +   4 β ²   +   2 i β ² e - 4 i k a     -   2 i β ³   +   β ² e 4 i k a   -   β ²   -   2 i β ³ e 4 i k a     +   2 i β ³   +   β 4 ( 1   -   e 4 i k a     -   e - 4 i k a     +   1 )

= 1 + 2 β ²   +   β ² ( e 4 i k a     +   e - 4 i k a   )   -   2 i β ³ ( e 4 i k a     -   e - 4 i k a   ) + 2 β 4   -   β 4 ( e 4 i k a   + e - 4 i k a   )

= 1 + 2 β ² +   2 β ²   c o s   4 k a   -   2 i β ³ 2 i s i n   4 k a   +   2 β 4   -   2 β 4   c o s   4 k a

= 1 + 2 β ² ( 1   +   c o s   4 k a ) + 4 β ³   s i n   4 k a   +   2 β 4 ( 1   -   c o s   4 k a )

= 1 + 4 β ² c o s ²   2 k a   +   8 β ³ sin ⁡ 2 k a cos ⁡ 2 k a   +   4 β 4 s i n ²   2 k a

T = 1 1 + 4 β 2 c o s   2 k a   +   β   s i n   2 k a 2

Pronto!! Encontramos tudo que desejávamos.

Resposta

a) R l = S 11 ² = M 21 M 22   ² ,   T l = S 21 2 = det ⁡ M M 22 ² ,   R t = | S 22 | 2 = M 12 M 22 2 ,   T R = | S 12 | ² = 1 M 22   2  

b) Gráfico.

c) M =   1   +   i β   i β e - 2 i k a   - i β e   2 i k a   1   -   i β

d) T = 1 1 + 4 β 2 c o s   2 k a   +   β   s i n   2 k a 2

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