Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 12
Calcule , , e e para o n-ésimo estado estacionário do oscilador harmônico utilizando o método do Exemplo 2.5. Confira se o princípio da incerteza é satisfeito.
Passo 1
Fala í, beleza? Para resolver essa questão, utilizaremos o método citado no enunciado, que consiste em escrever os operadores e na forma:
Assim, vamos partir para as contas!
Para o valor esperado de , temos:
Podemos escrever esse resultado como:
Ou, ainda:
Como , e são ortonormais, essas duas integrais se anulam, resultando em:
Como tinha sido antecipado na resolução da questão anterior.
De maneira direta, o valor de também será zero, pois podemos escrevê-lo como:
Passo 2
Vamos agora fazer o mesmo para as grandezas quadráticas:
Assim, ao realizarmos as integrais, chegamos em:
Perceba que a duas primeiras integrais irão se anular, pois o integrando corresponde aos produtos e . Restando assim, apenas as duas últimas integrais, que correspondem a:
Portanto:
De maneira semelhante, fica:
Já vimos o resultado da soma dessas quatro integrais. Portanto, temos:
Para finalizar o cálculo dos valores esperados, já vimos na questão anterior como obter o valor esperado da energia cinética. Assim, vem:
Que corresponde à metade da energia associada ao n-ésimo estado estacionário.
Passo 3
Agora que calculamos todos os valores esperados, vamos determinar as incertezas:
Analogamente:
Assim, o produto das incertezas fica:
Ou seja, ele vai ser sempre maior ou igual a , respeitando, assim, o princípio da incerteza!