Uma partícula está no estado fundamental do oscilador harmônico com frequência clássica , quando repentinamente a constante da mola quadruplica, fazendo com que , sem inicialmente mudar a função de onda (é claro que evoluirá diferentemente, pois o hamiltoniano mudou). Qual é a probabilidade de a medição de energia ainda resultar no valor ? Qual a probabilidade de se obter ?

Agora, para determinar a probabilidade de se medir a energia , devemos calcular a probabilidade de encontrarmos a partícula no seu novo estado fundamental, que aqui será chamado , enquanto o estado estacionário inicial será .

O enunciado informa que no instante em que ocorre a mudança na constante da mola, a função de onda inicialmente não se altera, ou seja, assumindo que esse seja o instante te tempo , temos:

Essa igualdade só vale para o instante inicial, para todos os outros instantes a função de onda evoluirá de uma maneira, a princípio, desconhecida.

Contudo, nos sabemos que essa função de onda pode ser escrita como uma série de Taylor, devido ao teorema de Dirichlet, ou seja:

Ou seja, para o instante inicial, vale:

Como queremos descobrir a probabilidade de a partícula estar no estado , devemos então calcular o coeficiente . Para isso, vamos utilizar o truque de Fourier:

Para essas funções, temos:

Portanto:

Resolvendo a integral Gaussiana, chegamos em:

Então, de posse desse coeficiente, conseguimos calcular a probabilidade desse estado: