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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 5 b

Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:

Ψ x , 0 = A ψ 1 x + ψ 2 x

b) Calcule Ψ x , t e Ψ x , t 2 . Represente o último na forma de função senoidal no tempo como no exemplo 2.1 . Para simplificar o resultado, seja ω ≡ π 2 ℏ / 2 m a 2 .

Passo 1

Primeiramente vamos determinar Ψ ( x , t ) . Como a função de onda completa é uma combinação linear de dois estados estacionários, temos que:

Ψ x , t = 1 2   ( ψ 1 e - i E 1 t ℏ + ψ 2 e - i E 2 t ℏ   )

Da energia, utilizando o ω definido no enunciado, vem que:

E n = n 2 ω   ℏ → E n ℏ = n 2 ω

Assim, Ψ ( x , t ) fica:

Ψ x , t = 1 2   ψ 1 e - i ω t + ψ 2 e - 4 i ω t

Substituindo as funções ψ 1 e ψ 2 , vem:

Ψ x , t = 1 a   sen ⁡ π x a e - i ω t + sen ⁡ 2 π x a e - 4 i ω t

Ou, ainda:

Ψ x , t = 1 a   e - i ω t sen ⁡ π x a + sen ⁡ 2 π x a e - 3 i ω t

Passo 2

Agora, basta calcular o quadrado do módulo de Ψ x , t . Para isso, tomemos o conjugado de Ψ :

Ψ * = 1 a   e i ω t sen ⁡ π x a + sen ⁡ 2 π x a e 3 i ω t

Assim, ao multiplicarmos a função de onda pelo seu conjugado, temos:

Ψ x , t 2 = 1 a   sen 2 ⁡ π x a + sen ⁡ π x a sen ⁡ 2 π x a e 3 i ω t + e - 3 i ω t + sen 2 ⁡ 2 π x a  

Ou ainda, reorganizando os termos:

Ψ x , t 2 = 1 a   sen 2 ⁡ π x a + 2   sen ⁡ π x a sen ⁡ 2 π x a c o s ⁡ ( 3 ω t ) + sen 2 ⁡ 2 π x a  

Resposta

Ψ x , t = 1 a   e - i ω t sen ⁡ π x a + sen ⁡ 2 π x a e - 3 i ω t

Ψ x , t 2 = 1 a   sen 2 ⁡ π x a + 2  sen ⁡ π x a sen ⁡ 2 π x a c o s ⁡ ( 3 ω t ) + sen 2 ⁡ 2 π x a  

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