No cálculo do valor esperado do produto da posição pelo momento, surge uma ambiguidade, por que não é evidente qual das duas expressões
deve ser usada.
a) Mostre que nenhuma das é aceitável, porque ambas violam a exigência óbvia de que deve ser real, já que é mensurável.
b) Mostre então que a expressão
é aceitável, porque satisfaz a essa exigência.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
O enunciado traz um erro no item (b). A expressão correta é
Observe que o primeiro dentro da integral deve ter o asterisco, indicando que é o complexo conjugado.
Agora vamos resolver o problema!
Vamos começar escrevendo:
Assim, como pois a função de onda é normalizada:
Essa relação deixa óbvio que é impossível que ambos e sejam reais. O termo aditivo imaginário impede que isso ocorra!
Passo 2
Agora vamos considerar a definição do item (b):
Temos que
Ou ainda,
Portanto,
Passo 3
Observe que usando a regra do produto:
Assim,
O integrando da primeira integral do lado direito é uma derivada total, de modo que
Considerando que a função de onda se anula no infinito, temos , de modo que
Abrindo a derivada novamente:
Desta forma, podemos escrever
Ou ainda,
Com isso, obtivemos duas formas de escrever :
É fácil perceber que
Portanto,
Essa é condição para que um número seja real! Problema resolvido 😉.
Resposta
Demonstração.