No cálculo do valor esperado do produto da posição pelo momento, surge uma ambiguidade, por que não é evidente qual das duas expressões

x p - = ∫ - ∞ ∞ ψ *   x   - i ℏ ∂ ∂ x   ψ   d x

p x - = ∫ - ∞ ∞ ψ * - i ℏ ∂ ∂ x   x   ψ   d x

deve ser usada.

a) Mostre que nenhuma das é aceitável, porque ambas violam a exigência óbvia de que   x p - deve ser real, já que é mensurável.

b) Mostre então que a expressão

x p - = ∫ - ∞ ∞ ψ *   x - i ℏ ∂ ∂ x + - i ℏ ∂ ∂ x   x 2   ψ   d x

é aceitável, porque satisfaz a essa exigência.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O enunciado traz um erro no item (b). A expressão correta é

x p - = ∫ - ∞ ∞ ψ *   x - i ℏ ∂ ∂ x + - i ℏ ∂ ∂ x   x 2   ψ   d x

Observe que o primeiro ψ dentro da integral deve ter o asterisco, indicando que é o complexo conjugado.

Agora vamos resolver o problema!

Vamos começar escrevendo:

x p - = - i ℏ   ∫ ψ *   x ∂ ψ ∂ x   d x

p x - = - i ℏ   ∫ ψ * ∂ ∂ x x   ψ   d x = - i ℏ   ∫ ψ *   ψ   d x - i ℏ   ∫ ψ *   x ∂ ψ ∂ x   d x

Assim, como ∫ ψ *   ψ   d x = 1 pois a função de onda é normalizada:

p x - = - i ℏ + x p -

Essa relação deixa óbvio que é impossível que ambos   x p - e   p x - sejam reais. O termo aditivo imaginário - i ℏ impede que isso ocorra!

Passo 2

Agora vamos considerar a definição do item (b):

x p - = ∫ - ∞ ∞ ψ *   x - i ℏ ∂ ∂ x + - i ℏ ∂ ∂ x   x 2   ψ   d x

Temos que

x p - = - i ℏ 2 ∫ ψ * x ∂ ψ ∂ x + ψ + x ∂ ψ ∂ x   d x

Ou ainda,

x p - = - i ℏ 2   ∫ ψ *   ψ   d x - i ℏ   ∫ ψ *   x ∂ ψ ∂ x   d x

Portanto,

x p - = - i ℏ 2 - i ℏ   ∫ ψ *   x ∂ ψ ∂ x   d x

Passo 3

Observe que usando a regra do produto:

∂ ∂ x ψ * x ψ = ∂ ∂ x ψ * x   ψ + ψ *   x ∂ ψ ∂ x

Assim,

∫ ψ *   x ∂ ψ ∂ x   d x = ∫ ∂ ∂ x ψ * x ψ   d x - ∫ ∂ ∂ x ψ * x   ψ   d x

O integrando da primeira integral do lado direito é uma derivada total, de modo que

∫ ψ *   x ∂ ψ ∂ x   d x = ψ * x   ψ - ∞ ∞ - ∫ ∂ ∂ x ψ * x   ψ   d x

Considerando que a função de onda se anula no infinito, temos ψ * x   ψ - ∞ ∞ = 0 , de modo que

∫ ψ *   x ∂ ψ ∂ x   d x = - ∫ ∂ ∂ x ψ * x   ψ   d x

Abrindo a derivada novamente:

∫ ψ *   x ∂ ψ ∂ x   d x = - ∫ ψ *   ψ   d x - ∫ ψ   x ∂ ψ * ∂ x   d x = - 1 - ∫ ψ   x ∂ ψ * ∂ x   d x

Desta forma, podemos escrever

x p - = - i ℏ 2 - i ℏ   - 1 - ∫ ψ   x ∂ ψ * ∂ x   d x

Ou ainda,

x p - = i ℏ 2 + i ℏ ∫ ψ   x ∂ ψ * ∂ x   d x

Com isso, obtivemos duas formas de escrever   x p - :

x p - = - i ℏ 2 - i ℏ   ∫ ψ *   x ∂ ψ ∂ x   d x

x p - = i ℏ 2 + i ℏ ∫ ψ   x ∂ ψ * ∂ x   d x

É fácil perceber que

i ℏ 2 + i ℏ ∫ ψ   x ∂ ψ * ∂ x   d x = - i ℏ 2 - i ℏ   ∫ ψ *   x ∂ ψ ∂ x   d x *

Portanto,

x p - * = x p -

Essa é condição para que um número seja real! Problema resolvido 😉.

Resposta

Demonstração.

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