Substituindo na equação de Schroedinger independente do tempo o potencial ilustrado na figura 5-23, mostre que à direita da região onde a partícula estaria ligada, a autofunção tem a forma matemática

ψ x = A   e - 2 m V 0 - E ℏ   x ,           x > a / 2

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A equação de Schroedinger independente do tempo é

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + V   ψ = E   ψ

Considerando que para x > a / 2 temos V = V 0 , obtemos

d 2 ψ d x 2 = - 2 m ℏ 2 E - V 0   ψ

Como a partícula está ligada, temos que E < V 0 , de modo que

d 2 ψ d x 2 = k 2   ψ ,               k 2 = 2 m ℏ 2 V 0 - E > 0

Passo 2

A solução geral dessa equação é

ψ x = A   e - k x + B   e k x

Como ψ → 0 conforme x → ∞ , devemos ter B = 0 para que a função de onda exploda. Portanto,

ψ x = A   e - k x

Substituindo o valor de k :

ψ x = A   e - 2 m V 0 - E ℏ   x

Resposta

Demonstração.

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