Enunciado

O capacitor da Figura 7.38a começa a carregar após o interruptor fechar, no instante t = 0 s. Analise o circuito e mostre que Q = Qmax(1 et/), onde Qmax C.

Passo 1

Depois que a chave fecha em t = 0 s, o capacitor começa a carregar. No instante t, seja a corrente e a carga no circuito seja i e q, respectivamente. Além disso, assuma o sentido horário para a corrente i. Usando o laço de Kirchhoff lei e começando no sentido horário a partir do canto inferior esquerdo do loop,

ε   -   i R   -   q C   =   0     ⇒   ε   =   d q d t R   +   q C   ⇒   R C d q   =   ( ε C   -   q ) d t   ⇒   d q ε C - q   =   d t R C

Passo 2

Integrando os dois lados,

∫ 0 Q d q ε C   -   q   =   ∫ 0 t d t R C   ⇒   -   [ l n ( ε C - q ) } 0 Q   =   t R C   ⇒   -   l n ( ε C   -   Q )   +   l n ( ε C )   =   t R C

⇒   l n ( ε C - Q ε C )   =   - t R C   ⇒   ε C - Q ε C   =   e - t / R C   ⇒   Q   =   ε C ( 1   -   e - t / R C )

deixando Q m a x   =   ε C e τ   =   R C , nós temos Q   =   Q m a x ( 1 - e - t / τ )

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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