Chamamos de V ∙ a i = V i e V ∙ a i = V i as componentes covariante e contravariante, respectivamente, de V , e

g i j = a i ∙ a j   ,             g i j = a i ∙ a j

Prove que

V j = ∑ i V i g i j   ,         V j = ∑ i V i g i j

E

V 2 = ∑ i V i V i = ∑ i j V i V j g i j = ∑ i j V i V j g i j

Estas relações são muito importantes em cálculos vetoriais em que se usam coordenadas não ortogonais, e são especialmente úteis em física do estado sólido, quando se está tratando da estrutura cristalina dos sólidos.

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos utilizar o resultado da questão anterior para resolver o problema. Primeiramente, consideremos:

V → = ∑ i V → ∙ a i → a i →

Tomando o produto escalar do vetor V → com a j → , temos:

V j = ∑ i V i a i → ∙ a j →

Ou seja:

V j = ∑ i V i g i j

De maneira análoga, temos:

V → = ∑ i V → ∙ a i → a i →

Tomando o produto escalar com a j → , vem:

V j = ∑ i V i g i j

Passo 2

Agora, para calcular V 2 , tomaremos o produto escalar de V → com ele mesmo, porém, com ele escrito nas duas decomposições do problema anterior:

V 2 = V → ∙ a 1 → a 1 → + V → ∙ a 2 → a 2 → + V → ∙ a 3 → a 3 → ∙ V → ∙ a 1 → a 1 → + V → ∙ a 2 → a 2 → + V → ∙ a 3 → a 3 →

Assim, como a i → ∙ a i → = 1 e a i → ∙ a j → = 0 , vem:

V 2 = V 1 V 1 + V 2 V 2 + V 3 V 3 = ∑ i V i V i

Utilizando agora a relação demonstrada no passo 1 para V i , temos:

V 2 = ∑ i V i ∙ ∑ j V j g i j = ∑ i j V i V j g i j

De maneira análoga, pode-se mostrar que vale:

V 2 = ∑ i j V i V j g i j

Portanto:

V 2 = ∑ i j V i V j g i j = ∑ i j V i V j g i j

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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