Chamamos de e as componentes covariante e contravariante, respectivamente, de , e
Prove que
E
Estas relações são muito importantes em cálculos vetoriais em que se usam coordenadas não ortogonais, e são especialmente úteis em física do estado sólido, quando se está tratando da estrutura cristalina dos sólidos.
Passo 1
E aí, beleza?? Vamos utilizar o resultado da questão anterior para resolver o problema. Primeiramente, consideremos:
Tomando o produto escalar do vetor com , temos:
Ou seja:
De maneira análoga, temos:
Tomando o produto escalar com , vem:
Passo 2
Agora, para calcular , tomaremos o produto escalar de com ele mesmo, porém, com ele escrito nas duas decomposições do problema anterior:
Assim, como e , vem:
Utilizando agora a relação demonstrada no passo 1 para , temos:
De maneira análoga, pode-se mostrar que vale:
Portanto:
Como queríamos demonstrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)