Enunciado
Física - Randall D. Knight - Termodinâmica Óptica- Ed: 2º - Capítulo 15.Exercícios e Problemas - Ex. 74
Um cilindro de densidade , comprimento l e área transversal A flutua em um líquido de densidade com seu eixo perpendicular à superfície. Um comprimento h do cilindro fica submerso quando o cilindro flutua em repouso.
a. Demonstre que .
b. Suponha que o cilindro esteja uma distância y acima de sua posição de equilíbrio. Encontre uma expressão para , o componente y da força resultante sobre o cilindro. Use o que você sabe para cancelar termos na expressão, escrevendo-a da maneira mais simples possível.
c. Você deve reconhecer o resultado do item b como uma espécie de versão da lei de Hooke. Qual é a "constante elástica" k?
d. Se você pressionar para baixo um objeto que está flutuando e depois soltá-lo, ele oscilará para cima e para baixo. Neste caso, ele se comporta como uma mola, no sentido de que oscila se for afastado de seu equilíbrio. Use sua "constante elástica" e o que você sabe sobre o movimento harmônico simples para mostrar que o período de oscilação do cilindro é dado por
e. Qual é o período de oscilação de um iceberg com 100 m de altura na água do mar?
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!
Quando o cilindro está flutuando, seu peso é igual ao peso do fluido que está deslocando. Isto é
Sabendo que a massa é igual ao produto da densidade pelo volume, e que o volume de um cilindro com altura arbitrária é , temos
Assim como o enunciado nos pede
Passo 2
B- Esta força irá balancear a diferença entre o peso do cilindro e o peso do líquido deslocado pelo cilindro na posição . Portanto, podemos escrever que
Colocando em evidência o termo , temos que
Substituindo a expressão que nós encontramos para o h, obtemos a seguinte configuração
Simplificando,
Passo 3
C - Olhando para o resultado da letra b, é claro que fazendo uma analogia com o caso de uma mola constante de mola , a constante em nosso caso seria
D – Agora sabemos que a força para atuar no cilindro para um deslocamento y do equilíbrio será
Onde é a segunda derivada da posição com respeito ao tempo. Portanto, nós podemos escrever
Isolando a derivada, temos
Para um movimento harmônico
Calculando a primeira derivada,
E no caso da segunda derivada, temos
O que nós podemos ver nesse caso é que para o caso do movimento harmônico é uma solução da equação diferencial que nós escrevemos no início desta parte do exercício. Agora, nós temos que
Nós sabemos que para um movimento oscilante, o período é igual a
Como o termo m é igual a , a resposta final pode ser simplificada para
Passo 4
E – Como descrito anteriormente, nós podemos encontrar a profundeza do iceberg na água pela seguinte fórmula
E o período será igual a