Enunciado

Um cometa, a uma grande distância do Sol, tem uma velocidade igual a 2 g R e um parâmetro de impacto de 2 R (veja o Ex. 7.16 ), onde R é o raio do Sol. Quão próximo do Sol chegará o cometa?

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos começar calculando a energia total do cometa:

E = 1 2 m   2 R g 2 = m R g

E o momento angular é dado por:

L = m v 0 b = 2 m R R g

Passo 2

Assim, no instante de máxima aproximação, a velocidade do cometa é perpendicular ao vetor raio que liga o Sol ao cometa, portanto:

L = m r v

E = 1 2 m v 2 - G M m r

Conservando essas quantidades, temos:

m r v = 2 m R R g ∴ v = 2 R R g r

Portanto:

1 2 m ⋅ 4 R 3 g r 2 - G M m r = m R g

Vamos assumir que g é a gravidade na superfície do Sol e R o raio do sol. Portanto, assim teremos:

g = G M R ∴ G M = R g  

Ou seja:

2 R 3 g r 2 - R g r = R g ∴ 2 R r 2 - R r - 1 = 0

Ou, ainda:

r R 2 + r R - 2 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação pra r / R , chegamos em:

r R = - 1 ± 9 2 = - 1 ± 3 2

Como r / R   > 0 , vem:

r R = 3 - 1 2 = 1 ∴ r = R

Resposta

r = R

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