Enunciado

Com relação ao problema anterior, uma partícula é abandonada num ponto do eixo, a uma distância h do centro. (a) Qual será a velocidade da partícula ao passar pelo centro? (b) Que distância ela atingirá do outro lado? (c) O movimento resultante é periódico? Sob que condições o movimento é praticamente harmônico simples? Determine a frequência correspondente no último caso.

Passo 1

E aí, beleza?? Para a velocidade, conservemos a energia:

- m V h = 1 2 m v 2 - m V 0

Portanto:

v 2 = 2 V 0 - V h

Ou seja:

v = 2 G m 1 R - 1 R 2 + h 2

Passo 2

Pela conservação da energia, o corpo atingirá o ponto - h . Dessa maneira, seu movimento será oscilatório, de amplitude h . Contudo, não é um MHS. Para pequenas oscilações, temos:

m ' z ¨ = m ' g z ∴ z ¨ = g z

z ¨ = - G m R 3 z

Portanto:

ω = G m R 3

f = 2 π G m R 3

Resposta

v = 2 G m 1 R - 1 R 2 + h 2

f = 2 π G m R 3

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